PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

Geoffrey t.

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PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)

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PGCD Plus Grand Commun Diviseur, arithmétique, nombre entier, fraction, algorithme d'Euclide

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Le PGCD, ou Plus Grand Commun Diviseur, est un concept fondamental en arithmétique. Il permet de trouver le plus grand nombre entier qui divise exactement deux ou plusieurs entiers sans laisser de reste. Cette notion est particulièrement utile pour simplifier des fractions, résoudre certains problèmes de partage ou encore dans les mathématiques avancées comme la cryptographie et les algorithmes.

Sommaire

Définition du PGCD
Méthodes de calcul du PGCD
1. Méthode par les diviseurs
2. Méthode par décomposition en facteurs premiers
3. Méthode de l'algorithme d'Euclide
Propriétés du PGCD
Applications du PGCD
1. Simplification de fractions
2. Résolution de problèmes pratiques
3. Algorithmes informatiques

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Extraits

[...] PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) Introduction Le PGCD, ou Plus Grand Commun Diviseur, est un concept fondamental en arithmétique. Il permet de trouver le plus grand nombre entier qui divise exactement deux ou plusieurs entiers sans laisser de reste. Cette notion est particulièrement utile pour simplifier des fractions, résoudre certains problèmes de partage ou encore dans les mathématiques avancées comme la cryptographie et les algorithmes. 1. Définition du PGCD Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus grand entier naturel d tel que d divise a et d divise b. [...]

[...] Trouver des dimensions maximales communes ? Couper des objets sans perte ? Répartir des quantités équitablement Algorithmes informatiques Dans les langages de programmation, le PGCD est souvent utilisé dans : ? Les algorithmes de cryptographie (ex. RSA) ? La gestion de ratios ? La réduction de fractions en calcul numérique Conclusion Le PGCD est une notion essentielle qui intervient aussi bien dans des situations simples (comme simplifier une fraction) que dans des domaines avancés (comme la sécurité informatique). Maîtriser ses méthodes de calcul, notamment l'algorithme d'Euclide, est indispensable pour progresser en mathématiques. [...]

[...] Exemple : PGCD(48, 60) ? 48 = × 3 ? 60 = 2² × 3 × 5 ? Les facteurs communs sont 2² × 3 = 12 Donc, PGCD(48, 60) = 12 Cette méthode est plus rigoureuse mais nécessite une bonne maîtrise de la décomposition en facteurs premiers. Méthode de l'algorithme d'Euclide C'est la méthode la plus rapide et la plus utilisée. Elle repose sur la propriété suivante : PGCD(a, = PGCD(b, a mod tant que b ? 0. Exemple : Calculons PGCD(105, 63) ? [...]

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