Les méthodes multicritères

Résumé du document

L'optimisation unicritère, c'est-à dire celle qui ne prend en compte qu'un seul critère, n'est en fait, en général, qu'une simplification des problèmes qui se passent dans la vie courante.

En effet, la plupart des problèmes de décision auxquels nous sommes confrontés sont multicritères.

Dans les problèmes de choix de fournisseurs, par exemple, à moins que de travailler dans le cadre d'une adjudication où le marché serait attribué au moins-disant et ce, sans autre forme de procès, le problème auquel est confronté le décideur comporte plusieurs critères. Certains étant à maximaliser, d'autres à minimaliser.

Dans les problèmes de production, également, on ne vise pas uniquement un bénéfice maximum mais également des coûts de production minimaux, un développement maximum de certains produits compte tenu d'une stratégie de marché, la minimalisation d'investissements nouveaux, la minimalisation des risques d'exportation, ...

L'optimisation multicritères constitue cependant un problème dont la solution est mathématiquement impossible !
Ce n'est en effet que dans des cas exceptionnels que l'on pourra trouver une solution qui optimise tous les critères simultanément.

Dans le cadre du présent cours, nous donnerons tout d'abord un bref aperçu historique des méthodes multicritères et nous présenterons et discuterons les méthodes les plus utilisées.
Dans un deuxième stade, nous présenterons la méthode d'analyse multicritère PROMETHEE développée par le professeur BRANS de l'ULB-VUB.
Un exemple d'utilisation de cette méthode dans le cadre de l'attribution d'un marché public sera alors développé.
Enfin, le cours se terminera par une démonstration du logiciel PROMCALC.

2. Aperçu historique
Les problèmes multicritères furent étudiés par deux grandes écoles. Il y a, d'une part, l'école américaine avec KUHN, TUCKER, GEOFFRION, ... et d'autre part, l'école française avec ROY.

L'école américaine est caractérisée par une attitude assez prescriptive par rapport au problème de décision.
Cette attitude se manifeste, entre autres, par la non prise en compte de la notion d'incomparabilité de solutions alternatives.

L'école française quant à elle se caractérise par son pragmatisme (...)

Extraits

[...] Exemple Evaluons deux employés pour les critères rendement et intelligence selon la méthode de la moyenne arithmétique et de raisonnement conjonctifs et disjonctifs purs. Afin de nuancer les raisonnements conjonctifs et disjonctifs purs, on fait appel à la notion de moyenne généralisée : où R est un nombre réel quelconque On peut démonter que pour : R = on retrouve la moyenne arithmétique R = on retrouve la moyenne géométrique R = on retrouve le raisonnement conjonctif pur R = on retrouve le raisonnement disjonctif pur Il appartient à l'utilisateur de la méthode d'utiliser des valeurs de R qui sont valables dans le cadre du problème qu'il est amené à résoudre. [...]

[...] Appelons K2 l'ensemble des solutions optimales de ce nouveau problème. On résout alors le problème unicritère ayant f3 comme critère et K2 comme ensemble de solutions possibles. On détermine ainsi une suite d'ensembles emboîtés les uns dans les autres K1, K2, K Kn : Cette méthode est valable dans la mesure ou l'on peut vraiment hiérarchiser les critères à un point tel qu'il faille nécessairement d'abord optimiser sur l'un d'entre eux et ne considérer pour les suivants que les solutions optimales du premier. [...]

[...] Nous avons donc: w1 = w2 = w3 = w4 = w5 = w6 tel que wi = 1 C1 = durée moyenne d'entretien par jour (en minutes) C2 = la valeur technique du matériel (cote sur 100) C3 = coût (106 FB) C4 = coût estimé de la maintenance sur la durée de vie du matériel (106 FB actualisés) C5 = durée moyenne estimée entre deux pannes (en mois standard d'utilisation) C6 = niveau de sécurité du matériel proposé Dans le cas concret proposé les fonctions de préférence devront être choisies de façon à maximiser les critères C2 et C6 et minimiser les critères C1, C3, C4, C5. Les données qui seront nécessaires pour pouvoir appliquer la méthode peuvent être synthétisées dans le tableau ci-dessous : Nous appellerons ( a1, a2) l'indice de préférence. [...]

[...] Table des matieres 1. Introduction Aperçu historique Etudes de quelques méthodes multicritères La hiérarchisation des critères L'agrégation des critères Les compromis interactifs La méthode PROMETHEE Le problème Les fondements de la méthode PROMETHEE Les trois phases de la méthode La notion de critère généralisé Choix des fonctions de préférence Choix des paramètres relatifs aux fonctions de préférence Détermination des poids de chaque critère La relation de surclassement Evaluation des préférences La méthode PROMETHEE I La méthode PROMETHEE II APPLICATION NUMERIQUE Le problème Choix des critères généralisés Construction du tableau des flux Le préordre de la méthode Prométhée I Le préordre de la méthode Prométhée II 27 Les méthodes multicritères Introduction L'optimisation unicritère, c'est-à dire celle qui ne prend en compte qu'un seul critère, n'est en fait, en général, qu'une simplification des problèmes qui se passent dans la vie courante. [...]

[...] Cette relation de surclassement pourrait être représentée comme suit : Entre les éléments a1 et a2, pour chaque action a1 et a2 nous représentons deux arcs quantifiés par a2) et a1) qui traduisent respectivement l'intensité de préférence de " a1" par rapport à " a2" et de " a2" par rapport à " a1" Evaluation des préférences L'action " a1" doit être comparée à l'action " a2" mais encore aux autres actions a ak . Afin d'évaluer toutes les actions possibles , nous définissons les flux suivants : a. Flux sortant : = ( a1, ai) b. Flux entrant : = ( ai, a1) c. Flux net : = - Pour simplifier les écritures, nous utiliserons la lettre en lieu et place de " a1 " lorsqu'on parle d'une action en général. [...]