La dérivation - publié le 30/07/2013

Thèmes abordés

Dérivation, nombre dérivé, tangente, fonctions composées, variations d’une fonction

Résumé du document

Soit I un intervalle contenant un nombre réel a et f une fonction définie sur I.
On dit que la fonction f est dérivable en a si la limite du rapport fa+h-f(a)h lorsque h tend vers 0, existe et est égale au nombre réel l. Ce nombre réel l est appelé nombre dérivé de la fonction f en a.

Extraits

[...] Elle est donc dérivable, de dérivée nulle. La fonction = a f '(ax+b) est bien une fonction nulle car a = 0. Deuxième cas où a 0. Soit h un nombre réel quelconque différent de 0. On a ,,,+ℎ.+.−(+)-ℎ. = ×,,++ℎ.−(+)- ℎ . Comme ,,++ℎ.−(+)-ℎ. admet comme limite f '(ax+b) lorsque ah tend vers on obtient ,,lim-ℎ→0.-,,,+ℎ.+.−(+)-ℎ . = a f '(ax+b) Vers la dérivée d'une fonction composée Propriété: Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle à valeurs dans un intervalle et g une fonction définie et dérivable sur J. [...]

[...] C'est donc une droite. Cette expression est donc positive pour x ; Le tableau de variations de f est donc: La dérivation PARTIE 2 FORMULES COMPLEMENTAIRES (FONCTIONS COMPOSEES) 1 Dérivée de la fonction f(x)=,-(). Propriété: Soit u une fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle de fonction dérivée u'. Soit f la fonction définie sur I par = ,-() . La fonction f est dérivable en tout nombre réel x de I tel que 0 : Démonstration : Soit x un nombre réel tel que > 0. [...]

[...] La fonction composée (définie sur I = ; à valeurs dans ℝ) est = = ,-,-.+ . Propriété: Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle à valeurs dans un intervalle et g une fonction définie et dérivable sur F. La fonction = est dérivable en tout réel x de E : y = ℓ + ,,+.-′.=,-′.+′ ,,×.-′.=′×′ ,,×.-′.=×′ ,,,- . ,,-′.-². ,,,- . ,,-′.×,-′.-². ,-′.,.= ,′()-,-() . ,-′.,.= ×′()×,(())-−. ,-′.,.= ×′()×,(())-−. [...]

[...] On calcule d'abord la fonction dérivée f' de f. Elle est donnée par f'(x) = + 6x. La formule étant y = f'(a) + f(a). f'(-1) = 3 + 6 = f = + 3 = 2 Donc l'équation de la tangente est y = + 2 = -3x Fonction dérivée et formule d'opération sur les dérivées Définition : Une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout nombre réel x appartenant à I. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. [...]

[...] Comme ,-(+ℎ).+,-(). > écrivons: A = ,,-(+ℎ). ,-().-ℎ. = ,,,-(+ℎ). ,-() . (+ℎ).+ ,-() . -ℎ,,-(+ℎ). ,-() . = ,,+ℎ.− ()-ℎ. ,1-,-(+ℎ). + ,-() . La fonction u est dérivable en x donc : ,,lim-ℎ→0.-,,+ℎ.− ()- ℎ . = u'(x). La fonction u est continue en x donc : ,,lim-ℎ→0.-(+ℎ). = et donc ,,lim-ℎ→0.- ,1-,-(+ℎ). + ,-() . [...]