L'intégration - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - L'intégration

Extraits

[...] On a donc par parties : . On en déduit donc l'expression des primitives sur R entier : En posant u'=cos(x) et v=ln(1+cos(x)) on obtient par parties sur tout intervalle I où cos(x) diffère de : Or, se simplifie en 1-cos(x). On en déduit sur tout I : 14. Rappelons que si ( est une fonction de classe C1 reliant bijectivement l'intervalle J à les primitives de f continue sur I sont du type G avec G primitive sur J de t ( La fonction ( définie de vers I par t est bijective et de classe C1. [...]

[...] Transformons l'intégrale In+1 par parties. Il vient naturellement : In+1= Or . La relation ci dessus se traduit alors par linéarité de l'intégrale en : D'où la relation de récurrence : ( n : permettant d'évaluer de proche en proche ces intégrales à partir de I0= Transformons Jn en écrivant On obtient par linéarité : Soit encore, pour n : Jn=Jn-2 + Transformons alors par parties l'intégrale résiduelle ci dessus suivant le schéma : u'(x)=(sin(x))-n.cos(x) et v(x)=cos(x) On obtient alors : On en déduit avec ce qui précède la relation : Jn=Jn-2+ qui se simplifie en : ( n Reste à préciser les sources. [...]

[...] En évaluant de deux manières l'intégrale sur de ce prolongement, établir l'égalité suivante : 2. Montrer que pour toute fonction f à valeurs réelles continue sur on a l'égalité : . Donner une interprétation géométrique de cette identité. Utiliser la relation ci-dessus pour trouver la valeur exacte des intégrales suivantes : ; ; 3. Etudier la fonction S définie par la formule (Ensemble de définition, fonction dérivée, variations, limite en + Montrer qu'il existe un couple de réels tel que : ] En déduire la valeur exacte de 5. [...]

[...] L'invariance de la somme lors du choix arbitraire d'un partage est donc bien assurée On notera l'ensemble des fonctions en escalier sur b]. On vérifie facilement que si f et g sont deux fonctions en escalier sur la somme, le produit, le quotient (si défini sont aussi en escalier sur b]. En effet soit P un partage ‘commun' à ces deux fonctions, obtenu par raffinage, tel que sur chacun de ses sous intervalles Ji= ]xi , xi+1[ la fonction f prenne la valeur constante et g la valeur i. [...]

[...] Si maintenant on sait que f sur on peut d'après ce qui précède en déduire que l'intégrale de g-f sera positive, puis en invoquant la linéarité, que : ( . Relation de Chasles. On établit sans aucun problème le résultat suivant : Soient 3 réels c en ordre strictement croissant et f une fonction de vers R. La fonction f sera alors en escalier sur si et seulement si chacune de ses deux restrictions aux intervalles respectifs et est aussi en escalier. [...]