Les espaces euclidiens - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les espaces euclidiens

Extraits

[...] Par exemple a on encore l'inégalité du triangle : ? _ De même, pour cette nouvelle notion purement algébrique d'orthogonalité, pourra on encore utiliser les réflexes liés à la vision classique d'un angle droit ? _ Est il possible de poursuivre le raisonnement en définissant le cosinus d'un angle de deux vecteurs non nuls en posant ? Rien ne nous permet d'affirmer pour l'instant que le quotient précédent est bien élément de ! Le déroulement de la théorie va nous donner des réponses claires et le plus souvent positives à ces interrogations. [...]

[...] _ Sur E=Rn, si et yn) , v)=x1.y1+ .+xn.yn _ Sur le R espace E des fonctions continues sur l'intervalle _ Sur le R espace E des fonctions continues sur de période Les vérifications des caractéristiques sont évidentes. Premières conséquences des définitions. Commençons par alléger les notations. Au lieu de l'écriture on pourra représenter le produit scalaire sous la forme simplifiée u.v ou également . De même le produit scalaire d'un vecteur par lui même pourra être noté (carré scalaire). [...]

[...] Ces deux produits scalaires coïncideront pour tout dans E(E si et seulement si a.b'=a'.b quels que soient les éléments a et a' choisis dans A et les éléments b et b' de B. En particulier cette égalité doit être vraie pour a'=0E et entraîne donc la nullité du produit scalaire d'un vecteur quelconque a de A avec un vecteur quelconque b' de B. L'orthogonalité des sous espaces A et B est donc une condition nécessaire pour la contrainte imposée à p. On vérifie immédiatement qu'elle est suffisante, car sous cette condition on a évidemment toujours a.b'=a'.b=0. Soient p et q deux projections orthogonales de E. [...]

[...] La correspondance ( définit donc bien un produit scalaire sur E. Rappelons alors que pour tout entier le polynôme défini par voit toutes ses dérivées successives s'annuler en a , sauf celle d'ordre k prenant la valeur 1. Le système T constitue alors de manière évidente un système orthonormé pour formé de n+1 vecteurs, donc une base de l'espace Euclidien E de dimension La correspondance ( est de manière évidente symétrique et linéaire par rapport à chacune des 2 variables fonctionnelles f et g. [...]

[...] On appelle ainsi tout R espace vectoriel E de dimension finie et muni d'un produit scalaire. La conjonction des propriétés métriques apportées par ce produit scalaire et de l'existence de bases finies en font les espaces les plus proches des cadres géométriques familiers. D'où le nom de structure Euclidienne, en hommage à l'un des plus célèbres pères de cette discipline. Grâce à l'intervention des bases, on peut s'attendre à une pratique analytique du produit scalaire, similaire à celle employée pour les vecteurs de la géométrie plane ou de l'espace à 3 dimensions. [...]