Fonctions vectorielles et dérivation

Thèmes abordés

Fonction vectorielle, fonction mathématique, vectorisation, formalisme de Leibniz, produit scalaire, produit vectoriel, mouvement curviligne, notation de Lagrange

Résumé du document

Une fonction vectorielle est une application qui, à un réel ttt, associe un vecteur. Une fonction vectorielle est donc définie à partir de fonctions réelles composant les coordonnées de ses vecteurs dans un repère.

Extraits

[...] Il est : - Tangente à la courbe au point MMM - Dirigé dans le sens du mouvement - De norme égale à la vitesse instantanée : \ 7. Vecteur accélération La dérivée seconde d'une fonction vectorielle donne l'accélération : a?(t)=d2r?dt2\vec{a}(t) = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}a(t)=dt2d2r? 8. Fonction vectorielle et équation paramétrée Une fonction vectorielle peut décrire un trajet dans l'espace. 9. Application en physique : mouvement curviligne Un mobile qui suit une trajectoire peut être modélisé par une fonction vectorielle - v?(t)=dr?dt\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}v(t)=dtdr? : vitesse - a?(t)=dv?dt\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}a(t)=dtdv? [...]

[...] : - Met en évidence la dépendance à la variable ttt - Facilite la différentiation dans un contexte physique - Est compatible avec les notations scalaires et les composantes Il est plus expressif que la notation de Lagrange surtout en physique ou en calcul vectoriel. Exemples d'exercices - Exercice 1 : Soit = 2t^2)r(t)=(3t,2t2). Calculer le vecteur vitesse et la norme de la vitesse. Solution : - = - = \sqrt{3^2 + = \sqrt{9 + 16t^2}?v(t)?=32+(4t)2?=9+16t2? - Exercice 2 : Soit r?(t)=(cos?t,sin?t)\vec{r}(t) = (\cos \sin t)r(t)=(cost,sint). Trouver la dérivée seconde. Solution : - = \cos t)v(t)=(?sint,cost) - = -\sin t)a(t)=(?cost,?sint) Le mouvement est circulaire uniforme avec une accélération centrée. [...]

[...] Fonctions vectorielles et dérivation 1. Définition d'une fonction vectorielle Une fonction vectorielle est une application qui, à un réel ttt, associe un vecteur : \mapsto Une fonction vectorielle est donc définie à partir de fonctions réelles composant les coordonnées de ses vecteurs dans un repère. 2. Domaine de définition Le domaine de définition d'une fonction vectorielle est l'ensemble des réels ttt pour lesquels les composantes sont définies. Exemple : : Si = \frac{1}{t} \vec{i} + \vec{j}u(t)=t1?i+ln(t)j?, alors est définie pour t>0t > 0t>0. [...]