L'intégration - publié le 09/07/2013

Thèmes abordés

intégration, intégration sur un segment, primitives, dérivées, intégrale

Résumé du document

Les formules permettant de calculer des dérivées permettent aussi de calculer des primitives.
Linéarité : Soient f et g deux fonctions continues sur I. Soient F une primitive de f sur I et G une primitive de g sur I. Soit k appartient R. Alors F +G est une primitive de f +g sur I et kF est une primitive de kf sur I.
Soit f une fonction continue sur I et u une fonction derivable sur J (tel que u(J) I). Soit F une primitive de f sur I. Alors F o u est une primitive de (f o u)  u' sur J.

Extraits

[...] strictement croissante). Exemple 2.7 Exemples d'´tude d'une fonction d´finie par une int´grale e e e x Soit F : x 1 (t2 + 1)et dt. La fonction f : t (t2 + 1)et est d´finie et de classe C sur e R par op´ration sur les fonctions usuelles, donc F est d´finie et de classe C sur et on e e a F = f = (x2 + 1)ex > 0. Donc F est croissante sur R. x2 Soit F : x x ln t dt. [...]

[...] e c b L'aire du domaine hachur´ est e a dt + c f dt. Remarque : En utilisant la valeur absolue, on peut diminuer le nombre de cas : Si f est continue sur l'intervalle et si Cf d´signe sa courbe repr´sentative, alors e e l'aire du domaine d´limit´ par Cf , l'axe des abscisses et les droites d'´quation x = a et x = b e e e b est a f dt. Si f et g sont deux fonctions continues sur alors l'aire du domaine d´limit´ par e e b Cf , Cg et les droites d'´quation x = a et x = b est e a f dt 1 dx = 1 (x2 dx = x3 x2 = + = ua Ce r´sultat est exprim´ en unit´ d'aire (ua). [...]

[...] Remarque : En pratique, on va confondre la fonction u avec la nouvelle variable d'int´gration, e β u(β) et on aura alors : α f dt = u(α) f du. Une fois le changement de variable trouv´, e il y aura donc 3 ´tapes : e Changer les bornes d'int´gration. e Appliquer la formule du = u dt. Transformer tous les t en u. Exemple dt. Soit u : t 2t + 1. On a = 1 et = 3. De plus, u est de 0 2t + classe C sur et, u = ce qui donne du = 2 dt. [...]

[...] Soient f et g deux fonctions continues sur b]. Soit Cf et Cg leur courbe repr´sentative dans le rep`re ı, e e Si f 0 sur alors l'aire du domaine d´limit´ par Cf , l'axe des abscisses et les droites e e b d'´quation x = a et x = b est e a f dt. Si f 0 sur alors l'aire du domaine d´limit´ par Cf , l'axe des abscisses et les droites e e b d'´quation x = a et x = b est e a f dt. [...]

[...] + Soit f une fonction continue et paire sur a]. On a alors : a a f (t)dt = 2 a 0 f dt. Soit f une fonction continue et impaire sur a]. On a alors : Exemple 2.4 Comme t t5 t4 + 1 est d´finie, continue et impaire sur on a : e 1 f dt = 0. t5 t4 + 1 dt = 0. Comme t t est d´finie, continue et paire sur on a : e t dt = 2 t dt = t dt = 2 t = Valeur approch´e d'une int´grale - m´thode des rectangles e e e M´thode des rectangles e On peut approcher une int´grale grˆce ` l'aire cumul´e de petits rectangles construits ` l'aide e a a e a de la fonction. [...]