Les probabilités - publié le 07/01/2014

Thèmes abordés

probabilités, probabilité conditionnelle, variables aléatoires, probabilité uniforme, probabilité sur un univers

Résumé du document

- On appelle expérience aléatoire une expérience qui est réalisée dans des conditions apparemment identiques qui peut aboutir à des résultats différents (exemple : lancer un dé à 6 faces non triqué)

- Chaque résultat possible est appelé « éventualité », « issue » et « évènement élémentaire ».

- L'ensemble des évènements élémentaires est appelé « univers ». On supposera que l'univers est fini et non vide.

- Toute partie de l'univers est appelée évènement (c'est la réunion d'un certain nombre d'évènements élémentaires).

Extraits

[...] Fonction de répartition : Soit X une variable aléatoire. On appelle fonction de répartition de cette variable aléatoire X la fonction notée F définit sur R à valeur dans ;1. par = p(X x). Espérance mathématique : On appelle espérance de la variable X le réel noté = .,x-i . On note = ,X. - Si X est une variable constante alors son espérance est égale à la valeur de cette constante. [...]

[...] On dit qu'un évènement élémentaire ω réalise un évènement A si ω appartient à A. L'ensemble vide est appelé évènement impossible. - Soit E un ensemble donné, soit A une partie (ou sous-ensemble) de E. On appelle complémentaire de A dans E noté l'ensemble de tous les éléments de E qui n'appartiennent pas à A. - Soit A et B deux sous-ensembles d'un ensemble A et B sont disjoints si = Deux évènements A et B sont incompatibles si = II) Probabilité sur un univers Soit un ensemble non vide fini. [...]

[...] IV) Probabilité uniforme sur un univers Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité de se produire ; on dit dans ce cas que l'hypothèse d'équiprobabilité est rempli ; la probabilité ainsi obtenue est appelée probabilité uniforme sur un univers On a : = ,card A-card IV) Probabilité conditionnelle Soit un univers fini non vide, muni d'une probabilité p. Soit A un évènement de probabilité non nul, soit B un évènement quelconque. On appelle probabilité de B sachant que A est réalisé ; noté ; le quotient Propriété : - Deux évènements A et B sont indépendants si = Conséquence : Si B ne dépend pas de alors = p(B). - A et B sont indépendants si et seulement si : - A et ,B. [...]

[...] et B sont indépendants Loi des probabilités totales : Soit un univers fini non vide muni d'une probabilité p. Soit ,B-p. une portion de On a = x On a aussi : = 1 Variables aléatoires Soit un univers fini non vide, soit p une probabilité définie sur On appelle variable aléatoire toute application X : R. L'ensemble est appelé l'ensemble image. Théorème : ,p-1. est une probabilité sur elle est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X. [...]