Riemann contre lebesgue

Résumé du document

Riemann contre lebesgue, fiche de mathématiques de 3 pages



Dans ces quelques lignes, j'essaie de dire ce qui fait la diff´erence, au fond, entre Riemann et Lebesgue, et pourquoi Lebesgue c'est mieux que Riemann.

Extraits

[...] Le th´or`me de Beppo-Levi montre que cette suite converge vers e e une fonction g f au sens de la convergence simple presque partout et au sens de L1 et qu'on a g = lim hn = s < f . Comme on a > il y a un ensemble A de mesure positive sur lequel on a f g η > 0 (consid´rer les ensembles sur lesquels on a f g 1/n). On consid`re les e e fonctions hn + ηχA . Ce sont des fonctions plus petites que f et le e e sup de leurs int´grales est s + ηχ(A) > s : c'est absurde. [...]

[...] Soit f une fonction Lebesgue-int´grable positive. L'int´grale e e e e de f est la borne sup´rieure des int´grales des fonctions ´tag´es g qui sont e e e e inf´rieures ou ´gales a f . Si f est born´e on a la mˆme propri´t´ avec la e e ` e e ee borne inf´rieure des fonctions ´tag´es f . e e e D´monstration. Notons que le fait que f soit positive assure qu'il existe des e fonctions ´tag´es plus petite (par exemple la fonction nulle). [...]

[...] Nous verrons e mieux ce qui est utilis´ au chapitre notamment pour la preuve du th´or`me e e e de convergence monotone. En fait, le point technique qui semble crucial est le suivant : si on a une fonction f int´grable (´ventuellement m´chante) et une e e e fonction u on a besoin, dans le th´or`me de convergence monotone e e e e comme on le fera au chapitre de consid´rer la fonction v qui vaut si e f et 0 sinon. Il est clair que v est encore (elle ne prend e e toujours qu'un nombre fini de valeurs). [...]

[...] On consid`re alors, pour i = n les ensembles e Ei = f , ti+1 = { x ti f < ti+1 Attention, les ensembles Ei peuvent ˆtre tr`s compliqu´s (penser au cas f e e e u est la fonction caract´ristique d'un Cantor) mais, s'ils ont une mesure λ(Ei e b on peut encadrer a f entre les ti λ(Ei ) et ti+1 λ(Ei C'est encore i=0 i=0 l'aire du “rectangle” (mais avec un rectangle de base compliqu´e) ou, plus e savamment, c'est Bienaym´-Tchebychev. On montre, voir 0.2 ci-dessous, que e l'int´grale de f est la borne sup´rieure (resp. inf´rieure) des petites (resp. e e e grandes) sommes. [...]

[...] e Remarques. Si f est born´e l'assertion sur l'inf se montre de la mˆme fa¸on. Attention, e e c si f n'est pas born´e, il n'y a aucune fonction qui majore f et la e e e propri´t´ avec l'inf des ´tag´es est fausse (exemple x sur ee e e On rencontre une autre diff´rence entre Riemann et Lebesgue. Dans la a e th´orie de Riemann, les int´grales, qui sont des r´els, sont vus comme des e e e limites de suites adjacentes, dans la th´orie de Lebesgue, on se contente de e les voir comme des bornes sup´rieures (sans les encadrer au-dessus). [...]