Exercice de mathématiques : calcul intégral et étude de fonctions

Exercice de mathématiques : calcul intégral et étude de fonctions

Résumé du document

Dans le repère orthonormé, on considère la courbe de la fonction u pour tout u > 0. On définit sur la courbe une portion sur un intervalle [k, k + 1] avec k est un réel strictement positif. Sur cette portion on considère le point M dont l'abscisse x appartenant à l'intervalle [k, k + 1] (Voir la figure ci-dessous).

Sommaire

I. Énoncé de l'exercice
A. Démonstration
B. Trouver une position

II. Démonstration
A. Déterminer une surface
B. Variation de fonctions

Informations sur le cours

Abdellatif
  • Nombre de pages : 4 pages
  • Publié le : 17/01/2020
  • Langue : français
  • Date de mise à jour : 17/01/2020
  • Consulté : 0 fois
  • Format : .pdf

Extraits

[...] Sur cette portion (𝒯) on considère le point M dont l'abscisse x appartenant à l'intervalle k + (Voir la figure ci-dessous) : Démontrer que la surface hachurée est : = + x − ln 1 + avec x ∈ k + 2x 2k(k + k (indication : on pourrait utiliser une méthode de comparaison de surfaces) Trouver la position de M afin que la surface hachurée soit minimale, puis calculer cette surface pour le cas k=1 En utilisant la question montrer que : ∀ x ln(1 + √ Dans le plan défini par un repère orthonormé, on considère un demi-cercle du rayon puis , sur ce demicercle on dessine un rectangle ABCD comme ce que montre la figure ci-dessous. [...]


[...] ENONCE DE L'EXERCICE Dans le repère orthonormé, on considère la courbe (𝒞) de la fonction u → pour tout u > 0 On définit sur la courbe (𝒞) une portion (𝒯) sur un intervalle k + avec k est un réel strictement positif. [...]


[...] Soit x l'abscisse du point B et la surface du rectangle ABCD. [...]


[...] Démontrer que : = 2x√1 − x avec x ∈ En utilisant la question précédente, déterminer la surface maximale du rectangle ABCD Page 1 CORRECTION 1Sur la figure ci-dessous on considère les points suivants : - A - B C D + 1 - E Puis on note : - S(ABCM) la surface du Trapèze ABCM S(MCDE) la surface du Trapèze MCDE ∆ la surface sous la portion de la courbe de la fonction u → allant du point A au point M - ∆ la surface sous la portion de la courbe de la fonction u → allant du point M au point E Donc : - S(ABCM) = - S(MCDE) = - ∆ = ∫ - ∆ = ∫ ( ( ) ) = ) ( ( = = − ) = − dt = ln(x) − ln(k) dt = ln(k + − ln(x) Puis comme : = [S(ABCM) − ∆ ] + [S(MCDE) − ∆ ] Alors on déduit que : = − − ln(x) + ln(k) + Finalement on conclut que : ∀ x ∈ k + , = + − ( ) + ln(x) − ln(k + x − ln 1 + 2Pour cette question on va étudier l'intervalle k + Page 2 les variations de la fonction = + ( ) x − ln 1 + sur ( La fonction S est dérivable sur l'intervalle k + et ∀ x ∈ k + , S′(x) = On note que ∀ k > k ( ) ) k(k + k + 1 Donc le tableau des variations de la fonction S est le suivant : x k k+1 k(k + S′(x) - O + 1 k(k + Ainsi, la fonction S admet un minimum au point x = − ln 1 + 1 k k(k + égale au ( ) Finalement, on conclut que la surface hachurée est minimale à la position M égale à S = Cas k=1 : S ( − ln ) = √ − ln 1 + k(k + ( ) et elle est − ln(2) ≈ 0,014 3D'après la question 2 on a montré que ∀ k > S Puis, comme ∀ k > S M sur la portion (𝒯) ( ) − ln 0 car [S(ABCM) − ∆ ] + [S(MCDE) − ∆ ] 0 quel que soit la position de Alors, on déduit que ∀ k > ln 1 + Puis on pose x = = ( ) , ce qui revient à écrire que ∀ x > ln(1 + √ , et cette inégalité est vraie encore pour x = 0 Finalement on a montré que ∀ x ln(1 + √ D'abord = AB BC Et comme les coordonnés des points sont : - A (−x, B - C √1 − x - D −x, √1 − x positifs ) Page 3 ( Car le point C appartient au cercle d'équation : y + x = 1 sur le demi plan des ordonnées positifs) ( Car le point D appartient au cercle d'équation : y + x = 1 sur le demi plan des ordonnées Alors on conclut que : ∀ x ∈ , = 2x√1 − x Pour cette question on va étudier les variations de la fonction = 2x√1 − x sur l'intervalle La fonction L est dérivable sur l'intervalle et ∀ x ∈ , L′(x) = √ Donc le tableau des variations de la fonction L est le suivant : x L′(x) √2 + O - 1 Finalement la surface du rectangle ABCD est maximale quand l'abscisse du point B est égale à surface à ce point égale à 1. [...]

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