Variable aléatoire à densité - Énoncé et correction détaillée

Thèmes abordés

Variable aléatoire à densité, densité de probabilité, représentation graphique, illustration graphique, fonction de répartition, fonction polynôme, asymptote horizontale, tableau de variation, coefficient directeur

Résumé du document

- Montrer que f est une densité de probabilité.
- Soit X une variable aléatoire de densité f. Expliciter sa fonction de répartition Fx.
- Tracer les représentations graphiques de f et Fx.
(...)

Extraits

[...] La fonction de répartition Fx Soit X une variable aléatoire de densité f. Explicitons sa fonction de répartitionFx. Si Fx=0 Si-1≤x<0 ; Fx=-infinityxftdt=-infinity-1ftdt+-1xftdt=0+-1xftdt ⇒Fx=-1xftdt =-1x1+x dt= 12t2-1 x=Fx-F-1= x+12x2--1+12 Fx=12x2+x+12 Fx= x22+2x212+122 Fx= a2+2ab+b2 Fx=(a+b)2 Fx= x2+122 Fx= 12x+12 Fx=122x+12 ⇒Fx=x+122 si 0≤x<1 ; Fx=-infinityxftdt=-infinity-1ftdt+-10ftdt +0xftdt=0+12+0xftdt ⇒Fx=12+0xftdt=12+0x1-t dt=12+ 12t20 12+Fx-F0 Fx=12+ 12x2=121-x2+x Si ; Fx=-infinity+infinityfxdx=1 En résumé : Fx=0 si x+122 si-1≤x<0121-x2+x si 0≤x<11 si 1≤x Traçons les représentations graphiques de f et Fx . Étudions les variations de Fx fonction de répartition . [...]

[...] Soit X une variable aléatoire de densité f. Expliciter sa fonction de répartitionFx. Tracer les représentations graphiques de f et Fx . Calculer EX, Var PX>12 et , PX≤12 Corrigé : Montrons que f est une densité de probabilité f est une densité de probabilité si elle vérifie les trois conditions suivantes Condition 1 : fx>=0 sur R ∀ fx>=0 ∀ x , fx>=0 ∀ fx>=0 ∀ x > fx>=0 Donc ∀ x fx>=0 Condition 2 : fx continue sur R f-1=0 f0=1-0⇒f0=0 lim⁡f(x)x-->0-=limx-->0-1+x=1 lim⁡f(x)x-->0+=limx-->0-1-x=1 f1=0 lim⁡f(x)x-->1-= limx-->1-1-x=0 lim⁡f(x)x-->1+=0 Donc f est continue sur R Condition 3 : -infinity+infinityfxdx=1 Vérification -infinity+infinityfxdx=-infinity-1fxdx+-10fxdx+01fxdx+1+infinityfxdx Or : -infinity-1fxdx=0 1+infinityfxdx=0 Illustration graphique Remplaçons fx=ft ⇒-infinity+infinityftdt=-10ftdt+01ftdt ⇒-infinity+infinityftdt=-101+xdt+01(1-x)dt ⇒-infinity+infinityftdt= 12x2-1 12x ⇒-infinity+infinityftdt=f0-f-1+(f1-f0) ⇒-infinity+infinityftdt=0--1+12+1-12-0 ⇒-infinity+infinityftdt=0--12+12-0 ⇒-infinity+infinityftdt=12+12 ⇒-infinity+infinityftdt=1 f est bien une densité de probabilité. [...]

[...] Ici le coefficient directeur de f est nulle donc f est une fonction constante. Si la courbe de f est représentée par la droite affine (droite oblique) d'équation 1+x Ici le coefficient directeur de f est positif donc f est une fonction croissante. Si 0≤x< la courbe de f est représentée par la droite affine (droite oblique) d'équation 1-x Ici le coefficient directeur de f est négatif donc f est une fonction décroissante. Si x la courbe de f est représentée par la droite horizontale d'équation y=0. [...]