Variable aléatoire - 3 exercices corrigés - publié le 10/02/2023

Thèmes abordés

Variable aléatoire, jeu de carte, tirage, loi de probabilité, gain algébrique, jeu équitable, espérance mathématique, urne, boules de jeu, tirage équiprobable, numérotation, résultat, nombre impair, parité différente

Résumé du document

Un sac contient 6 boules numérotées de 0 à 5. On en extrait simultanément 2 boules qui portent respectivement les numéros a et b. À chaque résultat de ce tirage, on associe :
1° Le nombre (a+b)/2 si a et b sont pairs.
2° Le nombre 0 si a et b sont impairs.
(...)
Quelles sont les valeurs de la variable aléatoire X ainsi définie ? Déterminer la loi de probabilité de X.

Extraits

[...] Quelles sont les valeurs de la variable aléatoire X ainsi définie ? Déterminer la loi de probabilité de X. Corrigé : Déterminons les valeurs prises par X et la loi de probabilité de X. 1[er] cas : Le nombre a+b2 si a et b sont pairs. Si a et b sont pairs ⇔a et b ϵ 0,2,4 Si a=0 et b=2 alors a+b2=0+22=22=1 donc X prend la valeur 1 Si a=0 et b=4 alors a+b2=0+42=42=2 donc X prend la valeur 2 Si a=2 et b=4 alors a+b2=2+42=62=3 donc X prend la valeur 3 cas : Le nombre 0 si a et b sont impairs. [...]

[...] PX=0 : C'est la probabilité de tirer 2 boules portant des nombres impairs. PX=1 : C'est la probabilité d'obtenir 2 boules paires portant exactement le nombre 0 et le nombre 2 ou 2 boules portant des nombres de parités différentes et dont la différence des nombres qu'elles portent est égale exactement à 1. PX=2 : C'est la probabilité d'obtenir 2 boules paires portant exactement le nombre 0 et le nombre 4. PX=3 : C'est la probabilité d'avoir 2 boules paires portant exactement le nombre 2 et le nombre 4 ou 2 boules portant des nombres de parités différentes et dont la différence des nombres qu'elles portent est égale exactement à 3. [...]

[...] Variable aléatoire - 3 exercices corrigés Exercice n°1 : loi de probabilité de x Étant donné un jeu bien battu de 32 cartes, une épreuve consiste à tirer 2 cartes sans remise. Chaque cœur tiré compte 2 points, et chaque pique 1 point. On appelle X le nombre de points obtenus au cours d'une épreuve. Donner la loi de probabilité de X. Calculer et V(X). Corrigé : Donnons la loi de probabilité de X puis calculons et V(X). Si la carte de cœur et la carte de pique ne figurent pas dans le tirage alors on ne réalise aucun gain donc X prend la valeur 0. [...]

[...] Déterminer a pour que le jeu soit équitable. Corrigé : Déterminons a pour que le jeu soit équitable XΩ=a,-7a,1 La probabilité de tirer 3 boules de couleurs différentes (tirage tricolore) est : PX=a=C31xC21xC11C63=620 La probabilité de tirer 3 boules de même couleur (tirage unicolore) est : PX=-7a=C33C63=120 La probabilité de tirer 2 boules de même couleur (tirage bicolore) est : PX=1=C63-(C33+C31xC21xC11)C63=1320 xi a -7a 1 PX=xi Le jeu est équitable si, et seulement si : EX=0 Si, et seulement si : i=1n=3xixPX=xi=0 Si, et seulement si : ax620+-7ax120+1x1320=0 Si, et seulement si : 6a-7a+1320=0 Si, et seulement si : 6a-7a+13=0 Si, et seulement si : + 13 Si, et seulement si : a =13 Exercice n°3 : valeurs de la variable aléatoire x Un sac contient 6 boules numérotées de 0 à 5. [...]

[...] Si les 2 cartes cœurs figurent dans le tirage alors on réalise un gain de 4 points donc X prend la valeur 4. D'où XΩ=0,1,2,3,4 PX=0=C162C322=120496 PX=1=C81xC161C322=128496 PX=2=C81xC161+C82C322=156496 PX=3=C81xC81C322=64496 PX=4=C82C322=28496 xi PX=xi EX=i=1n=4xixPX=xi EX=0x120496+1x128496+2x156496+3x64496+4x28496 EX=128+312+192+112496=744496 EX=32 EX2=i=1n=4xi2xPX=xi EX2=02x120496+12x128496+22x156496+32x64496+42x28496 EX2=128+624+576+448496=1776496 EX2=11131 VX=11131-322 VX=444-279124 VX=165124 Exercice n°2 : jeu équitable Dans le jeu qui suit, on considère la variable aléatoire X qui a pour valeur le gain algébrique d'un joueur. On dit que le jeu est équitable si EX=0. On considère une urne contenant 3 boules vertes blanches et 1 rouge. On tire simultanément 3 boules (tirages équiprobables). [...]