Variable aléatoire, jeu de carte, tirage, loi de probabilité, gain algébrique, jeu équitable, espérance mathématique, urne, boules de jeu, tirage équiprobable, numérotation, résultat, nombre impair, parité différente
Un sac contient 6 boules numérotées de 0 à 5. On en extrait simultanément 2 boules qui portent respectivement les numéros a et b. À chaque résultat de ce tirage, on associe :
1° Le nombre (a+b)/2 si a et b sont pairs.
2° Le nombre 0 si a et b sont impairs.
(...)
Quelles sont les valeurs de la variable aléatoire X ainsi définie ? Déterminer la loi de probabilité de X.
[...] Quelles sont les valeurs de la variable aléatoire X ainsi définie ? Déterminer la loi de probabilité de X. Corrigé : Déterminons les valeurs prises par X et la loi de probabilité de X. 1[er] cas : Le nombre a+b2 si a et b sont pairs. Si a et b sont pairs ⇔a et b ϵ 0,2,4 Si a=0 et b=2 alors a+b2=0+22=22=1 donc X prend la valeur 1 Si a=0 et b=4 alors a+b2=0+42=42=2 donc X prend la valeur 2 Si a=2 et b=4 alors a+b2=2+42=62=3 donc X prend la valeur 3 cas : Le nombre 0 si a et b sont impairs. [...]
[...] PX=0 : C'est la probabilité de tirer 2 boules portant des nombres impairs. PX=1 : C'est la probabilité d'obtenir 2 boules paires portant exactement le nombre 0 et le nombre 2 ou 2 boules portant des nombres de parités différentes et dont la différence des nombres qu'elles portent est égale exactement à 1. PX=2 : C'est la probabilité d'obtenir 2 boules paires portant exactement le nombre 0 et le nombre 4. PX=3 : C'est la probabilité d'avoir 2 boules paires portant exactement le nombre 2 et le nombre 4 ou 2 boules portant des nombres de parités différentes et dont la différence des nombres qu'elles portent est égale exactement à 3. [...]
[...] Variable aléatoire - 3 exercices corrigés Exercice n°1 : loi de probabilité de x Étant donné un jeu bien battu de 32 cartes, une épreuve consiste à tirer 2 cartes sans remise. Chaque cœur tiré compte 2 points, et chaque pique 1 point. On appelle X le nombre de points obtenus au cours d'une épreuve. Donner la loi de probabilité de X. Calculer et V(X). Corrigé : Donnons la loi de probabilité de X puis calculons et V(X). Si la carte de cœur et la carte de pique ne figurent pas dans le tirage alors on ne réalise aucun gain donc X prend la valeur 0. [...]
[...] Déterminer a pour que le jeu soit équitable. Corrigé : Déterminons a pour que le jeu soit équitable XΩ=a,-7a,1 La probabilité de tirer 3 boules de couleurs différentes (tirage tricolore) est : PX=a=C31xC21xC11C63=620 La probabilité de tirer 3 boules de même couleur (tirage unicolore) est : PX=-7a=C33C63=120 La probabilité de tirer 2 boules de même couleur (tirage bicolore) est : PX=1=C63-(C33+C31xC21xC11)C63=1320 xi a -7a 1 PX=xi Le jeu est équitable si, et seulement si : EX=0 Si, et seulement si : i=1n=3xixPX=xi=0 Si, et seulement si : ax620+-7ax120+1x1320=0 Si, et seulement si : 6a-7a+1320=0 Si, et seulement si : 6a-7a+13=0 Si, et seulement si : + 13 Si, et seulement si : a =13 Exercice n°3 : valeurs de la variable aléatoire x Un sac contient 6 boules numérotées de 0 à 5. [...]
[...] Si les 2 cartes cœurs figurent dans le tirage alors on réalise un gain de 4 points donc X prend la valeur 4. D'où XΩ=0,1,2,3,4 PX=0=C162C322=120496 PX=1=C81xC161C322=128496 PX=2=C81xC161+C82C322=156496 PX=3=C81xC81C322=64496 PX=4=C82C322=28496 xi PX=xi EX=i=1n=4xixPX=xi EX=0x120496+1x128496+2x156496+3x64496+4x28496 EX=128+312+192+112496=744496 EX=32 EX2=i=1n=4xi2xPX=xi EX2=02x120496+12x128496+22x156496+32x64496+42x28496 EX2=128+624+576+448496=1776496 EX2=11131 VX=11131-322 VX=444-279124 VX=165124 Exercice n°2 : jeu équitable Dans le jeu qui suit, on considère la variable aléatoire X qui a pour valeur le gain algébrique d'un joueur. On dit que le jeu est équitable si EX=0. On considère une urne contenant 3 boules vertes blanches et 1 rouge. On tire simultanément 3 boules (tirages équiprobables). [...]
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