Les nombres premiers - publié le 30/06/2024

Thèmes abordés

Nombres premiers, facteurs premiers, divisibilité d'un nombre premier, récurrence d'un nombre premier, décomposition d'un nombre premier

Résumé du document

Ce document est un devoir corrigé composé de deux exercices pour le niveau Terminale générale sur le thème des nombres premiers (propriétés, facteurs, exposants, récurrence...).

Extraits

[...] D'où : np=a et 2np=2a ou 2a+1 D'où : 2x-2x=0 ou 1 2np-2np=0 ou 1 Mais comme p est un diviseur premier de 2nn, son exposant ne peut pas être 0. C'est donc bien 1. Il nous reste à étudier le cas particulier pour lequel p=2n. Dans ce cas-là, pxp=2n est un nombre pair. Or le produit de 2 nombres impairs est impair donc p est forcément pair. Mais le seul nombre pair qui soit premier est 2. Dans ce cas-là n=pxp2=2 et on a : 2nn=42=6=3x2 Donc la propriété est bien vérifiée pour ce cas particulier également. [...]

[...] Les nombres premiers Exercice 1 Soit premier (donc Si , alors n'est diviseur d'aucun des nombres donc ne divise pas . D'où et la formule est bien vérifiée car on a alors : Prenons maintenant . On a : Le plus grand multiple de à figurer dans ce produit est : et . Comme est premier, les facteurs ne peuvent provenir que des multiples de . Il y en a alors : Mais il y a également des multiples de qui sont de la forme avec lui-même multiple de . [...]

[...] Pour on a donc la propriété est vérifiée. Soit N>2. Supposons que la propriété soit vraie au rang pour tous les entiers naturels n tels que n

[...] Cela prouve que tous les nombres premiers compris entre et divisent 2m+1m+1. Et comme ils sont premiers, leur produit divise également 2m+1m+1. D'après l'inégalité qui précède, on a donc : m+2<=pi<=2m+1pi<=2m+1m+1<=4m Or l'hypothèse de récurrence nous donne également : pi<=m+1pi<=4m+1 Finalement : pi<=Npi=pi<=m+1pixm+2<=pi<=2m+1pi<=4m+1x4m=42m+1=4N La propriété est donc vraie au rang N. Ainsi, on pour tout n : pi<=npi<=4n Pour résoudre cette question, nous allons utiliser le résultat trouvé dans la question de l'exercice 14 qui nous dit que l'exposant α du facteur premier p dans est : α=np+np2+... [...]