Les limites et la continuité - publié le 10/08/2022

Résumé du document

Il s'agit d'un cours global sur les limites et la continuité des fonctions. Il traite la notion de la continuité des fonctions, la relation entre les limites et la continuité, le rôle de l'étude de la continuité d'une fonction sur le traçage de son graphe, le prolongement par continuité d'une fonction discontinue en un point.
Ce cours continent 17 pages qui donnent des activités d'introduction, des définitions, des exercices d'application sans correction.

Extraits

[...] × 𝑥 et 𝑥 0 = 1 (𝑥 𝑛 𝑓𝑜𝑖𝑠 Pour 𝑥 0 on a 𝑥 −𝑛 = 1 𝑥𝑛 4.2 Puissance rationnelle Propriété : 𝑞 Pour tout réel 𝑥 0 et pour tout entier non nul 𝑞 on pose : √𝑥 = 𝑥 1 𝑞 ( ) Preuve : (en exercice) Définition : 𝑝 Soit 𝑥 un réel positif et 𝑟 un rationnel (𝑟 ∈ ; 𝑟 = 𝑞 où 𝑝 ∈ ℤ et 𝑞 ∈ ℕ∗ on pose : 𝑥𝑟 = 𝑥 𝑝 𝑞 ( ) 𝑞 𝑝 𝑞 = √𝑥 𝑝 = ( √𝑥 ) Propriétés Soit 𝑥 et 𝑦 deux réels positifs, 𝑟 et 𝑟′ des rationnels on a : ′ 1. 𝑥 𝑟+𝑟 = 𝑥 𝑟 × 𝑥 𝑟′ ′ 2. 𝑥 𝑟×𝑟 = (𝑥 𝑟 )𝑟′ = (𝑥 𝑟′ )𝑟 𝑥 −𝑟′ = 𝑥 𝑟′ (𝑥 𝑥𝑟 4. [...]

[...] Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 Remarque : L'expression " Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) il existe un et un seul 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tel que 𝑓(𝑐) = 𝜆 " peut-être formulée comme : " Pour tout 𝜆 compris entre 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) l'équation 𝑓(𝑥) = 𝜆 admet une solution unique dans [𝑎, 𝑏] Corolaire1 (T.V.I) : Soit 𝑓 une fonction continue sur [𝑎, 𝑏] . Si 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) [...]

[...] 𝑥 𝑟−𝑟′ = 𝑟′ (𝑥 𝑥 5. (𝑥𝑦)𝑟 = 𝑥 𝑟 𝑦 𝑟 𝑥 𝑟 𝑥𝑟 6. (𝑦) = 𝑦𝑟 Exercice 1 : Démontrer 1 et 2 Exercice 2 : Comparer les nombres 𝑎 = √5 et 𝑏 = √ ) 2Bac S.M Limite et continuité A.KARMIM Application aux calculs des limites. [...]

[...] VI) FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES. Activité : Soit 𝑓(𝑥) = 1 1+𝑥² Montrer que pour tout 𝑦 dans 𝐼 = +∞[ , l'équation 𝑓(𝑦) = 𝑥 admet une solution unique dans l'intervalle 𝐽 Etudier la monotonie et la continuité de 𝑓 sur ℝ On dit que la fonction 𝒇 admet une fonction réciproque de 𝑱 𝟏] vers 𝑰 = [𝟎, +∞[ Remarque : 10 2Bac S.M Limite et continuité A.KARMIM −1 (𝑥) = 𝑦 ⟺ {𝑓(𝑦) = 𝑥 {𝑓 𝑦∈𝐸 𝑥∈𝐹 On a : (∀𝑥 ∈ 𝐹)(𝑓𝑜𝑓 −1 (𝑥) = 𝑥) (∀𝑥 ∈ 𝐸)(𝑓 −1 𝑜𝑓(𝑥) = 𝑥) Théorème et applications 2.1 Le théorème Théorème : Soit 𝑓 une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼, On a 𝑓 admet une fonction réciproque 𝑓 −1 définie de 𝐽 = 𝑓(𝐼) vers 𝐼. [...]

[...] Théorème : Soient 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et 𝑔 une fonction définie sur un intervalle 𝐽 tels que 𝑓(𝐼) ⊂ 𝐽 et 𝑥0 un élément de 𝐼.  Si 𝑓 est continue en 𝑥0 et 𝑔 continue en 𝑓(𝑥0 ) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue en 𝑥  Si 𝑓 est continue 𝐼 et 𝑔 continue en 𝑓(𝐼) alors 𝑔𝑜𝑓 est continue 𝐼. Preuve : (En utilisant la définition) Montrons que : (∀𝜀 > 0)(∃ 𝛼 > 𝑥 − 𝑥0 0)(∃ 𝛽 > 𝑡 − 𝑓(𝑥0 ) 0)(∃ 𝛽 > 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 0 (∃𝛼 > ( 𝑥 − 𝑥0 [...]