Fonctions développables en série factorielle

Thèmes abordés

Représentation intégrale, fonction développable, série factorielle, fonctions convergentes, intervalle, entier naturel, classe des fonctions développables, fonction rationnelle, coefficients complexes

Résumé du document

Il s'agit de la correction d'exercices portant sur la fonction développable en série factorielle : tant sur la représentation intégrale que sur la stabilité de la classe.

Extraits

[...] Fonctions développables en série factorielle Question 2b) Prenons 𝑦 appartenant à un segment contenu dans c’est-à -dire 𝑦 appartient à Soit la fonction ℎ définie par ℎ(𝑦) = − 𝑦)𝑠−1. On a : Or 𝑏 [...]

[...] On a : Et d’après la question précédente on a : 1 Ainsi : 1 1 1 On effectue une intégration par parties en posant : 1 On obtient : 1 1 1 1 1 On effectue ainsi 𝑁 intégrations par parties sur le même modèle et on obtient alors : 1 1 1 1 1 On a alors : En faisant le changement de variable 𝑆 = 𝑠− on obtient enfin : Question 3b) On a : On a ainsi : On a alors : Ainsi quand 𝑛 tend vers l’infini on a : lim Alors, d’après le critère de d’Alembert, la série de terme général 𝑎𝑛𝑢𝑛(𝑠) n’est pas convergente, et ce quel que soit la valeur de 𝑠. Ainsi 𝑎 n’appartient pas à A. [...]

[...] Sa somme est donc également continue sur donc intégrable sur De plus 𝑠> donc 𝑠− 1 > −1. En comparaison avec les intégrales de Riemann, on en déduit que : 1 Est absolument convergente pour 𝑠> 𝜎𝑎. Question 2c) l’intégrale suivante : 1 Est absolument convergente pour les mêmes raisons que dans la question précédente. On en déduit que 𝜑𝑛 est définie et continue sur On a : 1 D’après la question précédente, la série de cette dernière expression est convergente et donc : 𝜑𝑛 converge normalement sur le segment La convergence normale que l’on vient de démontrer fait qu’il est possible d’intervertir la limite et le signe somme et on obtient donc : Question 3a) Vue la définition de la suite montrer que 𝑎 appartient à A revient à montrer qu’il existe 𝑠tel que la série de terme général 𝑢𝑛(𝑠) soit absolument convergente. [...]