Cette fiche présente un cours synthétique sur les suites vérifiant Un+1 = f(Un), accompagné d'une représentation graphique, ainsi que d'un exercice type sur le thème. Extrait : "Soit f : I ’ R une fonction Et l’intervalle I vérifie f(I) I (I stable par f) On construit une suite (Un)n telle que : U0 = a n , Un+1 = f (Un) ’ (Un)n est appelée suite récurrente."
[...] Rem : on nous donne U0 = a ( on peut avoir U1 = f = U2= f(U1) . ( Dans la suite récurrente, on a besoin du précédent terme. II) Représentation graphique y = x Y = f(U1) = U2 f(U0) = U1 l U0 U1 U2 U3 ( On veut placer les Un sur l'axe des abscisses et voir un début de comportement de la suite (avoir une idée sur la monotonie et la convergence) Rem : - Sur y = ordonnées = abscisses (ex à U0, on a f(U0) = U1 (pour avoir U1 sur l'axe des abscisses, on se repère par rapport à la droite y = x - Définition : Les x vérifiant = x sont appelés les points fixes de f (quand la bissectrice coupe : ici l III) Variations d'une telle suite On va se contenter de prendre les suites Un+1 = f(Un) avec f croissante Proposition : Pour une suite Un+1 = f(Un) avec on a deux possibilités : Si U1 U0, alors Un est Si U1 U0, alors Un est IV) Convergence Rappel : (Un)n converge si ,,lim-��→ ∞.-����. [...]
[...] (qui correspond à 2 ( Récurrence terminée En déduire la convergence de (Un)n et sa limite ( Avec le théorème des suites monotones, comme (Un)n et est majorée par on a la convergence de (Un)n vers l Comme (Un)n converge vers l et comme f est continue, on a : = l D'où : ,-1+��.=�� ( On le met au carré ( 1+��=,��-2. ( ��²−��−1 = 0 Δ = 5 l1 = et l2 = (comme c'est négatif, on l'oublie) nombre d'or Remarque importante ( Si f n'est pas continue, on ne pourra pas conclure sur la monotonie de n Ex : si f est sur ,��-+-∗. et sur ,��-−-∗. [...]
[...] Variations de f Il faut que 1+x 0 ( Df = f est dérivable sur Df ∀��∈���� , f'(x) = ,1-2,-1+�� . Attention : Df = Variations de (Un)n Rédac : Comme f pour la monotonie de (Un)n , on va comparer U0 et U1 Or U0 = 0 et U1 = 1 ( Donc U1 U0 Donc (Un)n est Montrer que n Єℕ, 2 ( Méthode de la prépa Montrons par récurrence que n Є ℕ, 2 ( Vérifions la propriété pour n = 0 U0 = 0 2 OK ( Supposons que la proposition est vraie à l'ordre n et on va le montrer à l'ordre n+1 Un+1 = ,-1+����. [...]
- Les statistiques descriptives = données ; la statistique inférentielle = étude. - Types de données = quantitatives continues (nbre infini de valeurs, unité de mesure précisée) ou discrètes (comptage, nbre fini) et qualitatives nominales (non ordonnées, non mesurables mais énumérables) ou ordinales (ordre entre les modalités). =>...
- Les statistiques descriptives = données ; la statistique inférentielle = étude. - Types de données = quantitatives continues (nbre infini de valeurs, unité de mesure précisée) ou discrètes (comptage, nbre fini) et qualitatives nominales (non ordonnées, non mesurables mais énumérables) ou ordinales (ordre entre les modalités). => possibilité de...
On peut tout d'abord d'intéresser à la la régression linéaire de Y en X. Lorsque l'on cherche à expliquer Y par X, on effectue une régression de Y en X par la détermination d'une fonction g des valeurs de xi de X dont la représentation graphique est la plus proche des nuage de points.
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont l'issu n'est pas connu à l'avance. On appelle univers une expérience aléatoire l'ensemble d'issus possibles de cette expérience. On appelle cardinale de l'univers le nombre d'issus dont le nombre d'éléments de l'univers. Exemple : on considère un jeu de 32 cartes non truqué.
On appelle suite numérique toute liste ordonnée de nombres ; pour les nommer on utilisera les lettres : U, V, W on notera aussi pour une suite U, Un le terme de rang ou d'indice n. Remarque : attention à ne pas faire l'erreur de croire qu'Un est systématiquement l'Ueme terme. Exemple : soit U la suite définie par : Un=1/n. Le premier terme de...
Résoudre une équation (ou une inéquation) d'inconnue x, c'est déterminer toutes les valeurs de x (si elles existent) pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'équation (ou de l'inéquation).
On peut tout d'abord s'intéresser aux espaces topologiques et aux ensembles ouverts. Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille O de parties de E vérifiant les trois axiomes suivants : toute réunion d'éléments de O est un élément de O. Toute intersection finie d'éléments de O est un élément de O. Le 0 et E appartiennent à O.
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