Cette fiche présente un cours synthétique sur les suites vérifiant Un+1 = f(Un), accompagné d'une représentation graphique, ainsi que d'un exercice type sur le thème. Extrait : "Soit f : I ’ R une fonction Et l’intervalle I vérifie f(I) I (I stable par f) On construit une suite (Un)n telle que : U0 = a n , Un+1 = f (Un) ’ (Un)n est appelée suite récurrente."
[...] Rem : on nous donne U0 = a ( on peut avoir U1 = f = U2= f(U1) . ( Dans la suite récurrente, on a besoin du précédent terme. II) Représentation graphique y = x Y = f(U1) = U2 f(U0) = U1 l U0 U1 U2 U3 ( On veut placer les Un sur l'axe des abscisses et voir un début de comportement de la suite (avoir une idée sur la monotonie et la convergence) Rem : - Sur y = ordonnées = abscisses (ex à U0, on a f(U0) = U1 (pour avoir U1 sur l'axe des abscisses, on se repère par rapport à la droite y = x - Définition : Les x vérifiant = x sont appelés les points fixes de f (quand la bissectrice coupe : ici l III) Variations d'une telle suite On va se contenter de prendre les suites Un+1 = f(Un) avec f croissante Proposition : Pour une suite Un+1 = f(Un) avec on a deux possibilités : Si U1 U0, alors Un est Si U1 U0, alors Un est IV) Convergence Rappel : (Un)n converge si ,,lim-��→ ∞.-����. [...]
[...] (qui correspond à 2 ( Récurrence terminée En déduire la convergence de (Un)n et sa limite ( Avec le théorème des suites monotones, comme (Un)n et est majorée par on a la convergence de (Un)n vers l Comme (Un)n converge vers l et comme f est continue, on a : = l D'où : ,-1+��.=�� ( On le met au carré ( 1+��=,��-2. ( ��²−��−1 = 0 Δ = 5 l1 = et l2 = (comme c'est négatif, on l'oublie) nombre d'or Remarque importante ( Si f n'est pas continue, on ne pourra pas conclure sur la monotonie de n Ex : si f est sur ,��-+-∗. et sur ,��-−-∗. [...]
[...] Variations de f Il faut que 1+x 0 ( Df = f est dérivable sur Df ∀��∈���� , f'(x) = ,1-2,-1+�� . Attention : Df = Variations de (Un)n Rédac : Comme f pour la monotonie de (Un)n , on va comparer U0 et U1 Or U0 = 0 et U1 = 1 ( Donc U1 U0 Donc (Un)n est Montrer que n Єℕ, 2 ( Méthode de la prépa Montrons par récurrence que n Є ℕ, 2 ( Vérifions la propriété pour n = 0 U0 = 0 2 OK ( Supposons que la proposition est vraie à l'ordre n et on va le montrer à l'ordre n+1 Un+1 = ,-1+����. [...]
- Les statistiques descriptives = données ; la statistique inférentielle = étude. - Types de données = quantitatives continues (nbre infini de valeurs, unité de mesure précisée) ou discrètes (comptage, nbre fini) et qualitatives nominales (non ordonnées, non mesurables mais énumérables) ou ordinales (ordre entre les modalités). =>...
- Les statistiques descriptives = données ; la statistique inférentielle = étude. - Types de données = quantitatives continues (nbre infini de valeurs, unité de mesure précisée) ou discrètes (comptage, nbre fini) et qualitatives nominales (non ordonnées, non mesurables mais énumérables) ou ordinales (ordre entre les modalités). => possibilité de...
Fonction dérivable Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et un élément de I ; f est dérivable en a lorsque le taux de variation de f entre et +h admet une limite réelle l quand h tend vers 0 ; ce réel l est le nombre dérivé de f en et est noté f'() Théorème : Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point....
Considérons un système de gestion des ressources dans un petit aéroport. On dispose de 4 salles d'embarquement et de 3 passerelles. Pour les vols au départ, il faut d'abord réserver une salle d'embarquent libre (ee libre.) pour exécuter l'événement edEr. (edébut d'enregistrement.) ce qui permet d'exécuter l'activité eEr. (eenregistrement.)....
On peut tout d'abord s'intéresser aux espaces topologiques et aux ensembles ouverts. Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille O de parties de E vérifiant les trois axiomes suivants : toute réunion d'éléments de O est un élément de O. Toute intersection finie d'éléments de O est un élément de O. Le 0 et E appartiennent à O.
On peut ici s'intéresser à la notion d'anneaux en mathématiques. D'abord, on peut la définir. Soit A un ensemble non vide muni de 2 Ici (loi de composition interne) notées + et x. (A,+,x) est un anneau si : (A,+) est un groupe commutatif, la lci x est associative et possède un élément neutre, et si la lci x est distributive sur la lci +.
Forme développée, forme canonique. La courbe s'appelle une parabole. Factorisation, signe du trinôme, Signe de a sauf entre les racines si elles existent, représentation graphique.
Un vecteur, noté AB est défini par : Une direction. -Un sens. -Une norme (longueur) notée AB. Vecteur nul : noté 0, de norme 0. Opposé d'un vecteur : même direction, même norme, mais sens opposé. AB= -AB Vecteurs égaux : Deux vecteurs AB et CD sont égaux si : -Ils ont même direction, même sens et même norme. -Les segments [ AD] et [BC] ont le...
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