Structures algébriques - publié le 21/07/2015

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, structures algébriques, groupe, sous groupe, morphisme de groupes, morphisme d'anneaux, éléments inversibles

Résumé du document

Groupe (G,*) ssi
* est une loi de composition interne associative sur G
il existe e E G le neutre pour *
tout élément x E G est symétrisable pour *
-> G est commutatif (abélien) ssi * est commutative

Extraits

[...] Groupe ssi * est une loi de composition interne associative sur G il existe e E G le neutre pour * tout élément x E G est symétrisable pour * G est commutatif (abélien) ssi * est commutative * = * y = ssi x*y = e ssi y*x = e * x^0 = e ou Ox = e (pour * pour tout n E N , x^n+1 = x^n*x ou = nx*n (pour * pour tout n E x^n = ou nx = (pour * pour tout E = x^np Sous groupe soit un groupe, G'CG, est un sous groupe de ssi pour tout E x*y E tout élément x E est symétrisable pour * (pour tout x E E Sous groupe engendré soit (Gi)iEI une famille de sous groupes de (inter)iEI Gi est un sous groupe de G * pour A C un sous groupe engendré par A est l'intersection de tous les sous groupes de G contenant A (plus petit sous groupe de G contenant A pour l'inclusion- noté ou * pour x E le sous groupe engendré par est = n E (ou nx pour Groupe produit soient et deux groupes, est le groupe produit de G et tel que pour tout E GXG' et E GXG', = , x est commutatif ssi G et le sont Morphisme de groupes soient et deux groupes, une application G est un morphisme de groupes ssi pour tout E = x - f est un isomorphisme ssi f est bijectif - f est un endomorphisme ssi f : G G - f est un automorphisme ssi f est un endomorphisme bijectif * si e est le neutre de alors est le neutre de * si x E alors = * si f est un isomorphisme alors sa bijection réciproque est un isomorphisme de dans G * si f : G , g : sont des morphismes de groupes alors gof : G est un morphisme de groupes * réalise un morphisme de groupes de dans * pour tout n E N , = Noyau et image f : un morphisme de groupes - noyau de f : Ker f = E G = = (partie de - image de f : Im f = x E = (partie de * Ker f est un sous groupe de , Im f est un sous groupe de * si H est un sous groupe de alors est un sous groupe de * si est un sous groupe de alors est un sous groupe de G * f est injetif ssi Ker f = * f est surjectif ssi Im f = Anneau ssi est un groupe commutatif x est associative A possède un neutre pour x x est distributive par + est un anneau commutatif ssi x est commutative commutatif est intègre ssi 0A 1A et pour tout E axb = 0 a=0 ou b=0 * 0A = neutre de A pour + , 1A = neutre de A pour x * pour tout a E A , a^0 = 1A et pour tout n E N , a^n+1 = axa^n * pour tout a E ax0A = 0Axa = 0A (absorbance) * pour tout E = = * pour tout E pour tout n E N , = somme(p=0,n) parmi n)a^p.b^n-p et a^n b^n = + a^n-2 + . [...]