Les limites et la continuité

Résumé du document

Ce document est un résumé du cour sur les limites et la continuité. Après la maîtrise de ce cour ainsi que le travail intensif des exercices de base et quelque exercice de haut niveau dans ce chapitre, il faut retenir cette fiche de révision avant l'examen de mathématique.

Cette fiche de révision contient quatre pages résumant la première partie de ce cour et elle donne les notions de base à maîtriser et à apprendre.

Extraits

[...] Proposition : √ Les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions : x 7→ x , x 7→ sin x et x 7→ cos x sont continues sur leur domaine de définition. & ' $ Les opérations sur les fonctions continues. Proposition : + soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et λ ∈ R. ? les fonctions f + λf et f g sont continues sur I f ? si de plus g ne s'annule pas sur alors les fonctions et sont continues sur I . [...]

[...] Conséquences : √ n → √ +∞[ → nx √ ? (∀x, y ∈ : n x = y ⇔ x = y n √ √ ? (∀x ∈ : ( n x)n = n xn = x ? : +∞[ x Définition : p Si r = ∈ Q avec q ∈ N∗ et p ∈ on pose q (∀x ∈]0, : xr = √ q xp Propriétés : ? La fonction x 7→ xr est continue sur pour tout r ∈ Q. ? [...]

[...] La fonction x 7→ tan(x) est continue et strictement croissante sur − Alors elle admet une fonction réciproque sera noté arctan. Propriétés : ? La fonction x 7→ arctan(x) est continue et strictement croissante sur R. ? (∀x ∈ : tan(arctan(x)) = x ? ∀x ∈ − , : arctan(tan(x)) = x : arctan(x) = y ⇐⇒ x = tan(y) ? (∀x ∈ ∀y ∈ − arctan(x) lim arctan(x) = − lim ? lim arctan(x) = x→−∞ x→+∞ x→ x ? [...]

[...] l'image d'un segment par une fonction continue est un segment. I +∞[ +∞[ ] − ∞, ] − ∞, ] − ∞, +∞[ f si f est continue et str % f ] lim+ f f f si f est continue et str & f lim+ f x→b ] lim− f lim+ f x→a lim− f ] lim+ f lim− f x→b x→a lim f x→+∞ ] lim+ f lim f x→a x→+∞ ] lim f f x→−∞ ] lim f lim− f x→−∞ x→b ] lim f lim f x→−∞ x→+∞ x→a ] lim− f f x→b x→b x→a ] lim f f x→+∞ ] lim f lim+ f x→+∞ x→a lim f x→−∞ ] lim− f lim f x→b x→−∞ ] lim f lim f x→+∞ x→−∞ Théorème des valeurs intermédiaires Théorème : soient f une fonction continue sur un intervalle I et b ∈ I. [...]

[...] On dit que f est continue à gauche en b si lim− f = f x→b Proposition : Remarque : f est continue en a ⇔ f est continue à droite et à gauche en a la partie entière n'est pas continue en tout n de Z. & ' 2 Définition : % $ la continuité sur un intervalle. ? on dit que f est une fonction continue sur un intervelle ouvert I s'elle est continue en tout point de I. ? [...]