Introduction à l'analyse statistique

[...] Gilles DUCHARME Janvier 2006 Rappel des caractéristiques d'une v.a. Une v.a. X est caractérisée par sa loi de probabilité PX qui contient TOUTE l'information dont on puisse disposer sur son comportement (exemples: loi de Bernoulli, Binômiale, Poisson, Uniforme, Normale, Exponentielle et bien d'autres À chaque loi PX, on peut associer : une fonction de répartition = PX[ X x ] P = x ] si X est discrète X une densité = dF(x) si X est continue dx un support SX = f > = {valeurs observables de Note : Souvent la densité (et la fonction de répartition) dépend de paramètres (exemple Ber(θ), U[θ1, θ2], N(θ1, θ etc On dénote alors f(x ; F ; θ) etc Les paramètres ont en général un sens Gilles DUCHARME Janvier 2006 Si la loi de probabilité est parfaitement connue, on peut (en principe ! [...]

[...] Chacun de ces x i est la valeur observée de la v.a. X ~ B(10, θ). Supposons que n = 20 et qu'on ait observé : Problème : Extirper (de la meilleure façon possible) de ces n nombres l'info permettant d'approximer : ce qui est directement recherché : PX[1 < X ou la valeur du paramètre inconnu θ (pour ensuite l'injecter dans la formule i ∑C10(θ)i θ)10−i ) Gilles DUCHARME Janvier 2006 Rappel : les n = 20 nombres sont Solution PX[1 < X 6 ] proportion des xi = 16/20 = 0.8 Solution : On a 20 séries de 10 lancers on a lancé la pièce 200 fois. [...]

[...] X ~ ) PX[1 < X 6 ] = = PX = i=2 = i 0.5 0.5 i=2 = 0.817383 Remarque : En général, dans ce contexte, le problème tombe dans le royaume du calcul des probabilités Gilles DUCHARME Janvier 2006 Malheureusement, la plupart du temps, la loi PX de X est (au moins partiellement) inconnue Raison (typiquement) : PX dépend du paramètre θ qui est inconnu en tout ou en partie Rien ne peut être calculé . Rien de précis ne peut être dit sur le comportement de X C'est là qu'intervient la statistique . Procédure générale: On répète l'expérience générant X un certain nombre de fois pour obtenir les valeurs x xn. On essaie, à partir de ces x x d'obtenir une approximation de la quantité associée à P X qui nous intéresse (par exemple PX[A] ou et qui dépend de la valeur inconnue de θ Comment ? [...]

[...] En répétant l'expérience, on enregistre x1 x2 xn, des valeurs observées de la v.a. X. C'est le cas que l'on considère dans ce cours. Exemple : Point d'ébullition de la même eau au même endroit. On maintient fixe contrôlé) pureté + altitude. On lit : la pression barométrique varie de façon non contrôlée et affecte de façon imprévisible (hasard) la température Gilles DUCHARME Janvier 2006 Les effets des paramètres non contrôlés et de ceux que l'on fait varier peuvent se combiner. [...]

[...] Ce symbole indique que R attend une commande R Exemple : Soit X ~ θ). On veut calculer x PX[X = = C n θx La commande R pour ce calcul est dbinom(x, θ) pour densité de la binomiale) Si n = 10, θ = x = 5. On a > dbinom( ) 0.2416958 > Note : En bleu : tapé par l'utilisateur et qui paraît à l'écran En rouge : tapé par l'utilisateur mais n'apparait pas à l'écran En noir : réponse de R R Gilles DUCHARME Janvier 2006 Exemple : Soit X ~ θ). [...]