L'intégration numérique - publié le 02/10/2014

Résumé du document

- Les méthodes utilisant un "p" élevé apparaissent ici être plus efficaces, car l'ordre de la méthode augmente avec p.
- Cependant chaque intégrale est un cas particulier et une méthode d'ordre a priori moins élevé peut se révéler plus efficace grâce à un très bon majorant du reste, que nous ne pouvons pas expliciter de manière générale pour chaque méthode.
- Enfin il faut savoir qu'il existe d'autres méthodes plus performantes, comme les formules de quadratures de Gauss-Legendre, dont l'élaboration fait entre autre appel à la théorie des polynômes othogonaux.

Extraits

[...] On explicite ıt e e e les m´thodes pour p : ce sont les m´thodes de Newton-Cotes. e e p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 : : : : : : : Rectangles ` droite, Rectangles ` gauche, Point m´dian a a e Trap`zes e Simpson Trois huiti`mes e Boole-Villarceau Newton Weddle-Hardy 4. Application Maple : calcul des coefficients et algorithmes de calcul des diff´rentes m´thodes. e e 1 Partie III : Majoration de l'erreur commise b Ici, on suppose f C R). Notons I(f ) = a f (x)dx. [...]

[...] e M´thode : Interpoler la fonction par un polynˆme et calculer son int´grale. e o e Analyse : Evaluation de l'erreur commise Partie I : M´thode de quadrature ´l´mentaire e ee β Soit f C 0 R). Soient (α α αp ) β]p+ Notons Ip ) = p α f M ) = sup{f x et Np = i=0 αi ) Interpolation de Lagrange en p+1 points Existence et unicit´ : Φ : e p Rp Rp+1 est un isomorphisme. [...]