La fonction exponentielle (Terminale S)

Résumé du document

Cours de Mathématiques (Terminale S) sur la fonction exponentielle, les équations différentielles et quelques limites. Il propose des exemples avec les démonstrations des théorèmes.

Extraits

[...] = 1 On note e le nombre exp(1). Propriétés algébriques Théorème 1 : Pour tous réels a et exp + = exp exp Démonstration faite dans la première étape de la fiche en prenant k = 1 Théorème 2 : La fonction f dérivable sur r qui vérifie f = f ' = 1 et pour tous réels a et b f + = f f est la fonction exponentielle. Démonstration faite dans la deuxième étape de la fiche en prenant k = 1. [...]

[...] théorème donc la dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur IR et par conséquent, la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR . Activité 3 p 65 Théorème 6 : lim x ex = + ; lim x ex = 0 ; lim x ex ; x lim x xex = 0 ; lim x ex 1 x démonstrations Cf activité pour lim ex = + ; On compare ex à x (en étudiant le sens de variation de g : x a ex x x 1 on utilise ex = , e-x lim = + et lim ey = + donc x y lim x e-x = + d'après le théorème des limites des fonctions composées e-x et ainsi lim ex = 0 ; d'où lim x x Cf activité pour lim x ex ex = + (on compare à x ou encore ex à x 2 ; x x on utilise xex = e-x lim x = + et lim et ainsi y lim x ey = + donc y e-x = + d'où x lim e-x xex = 0 ; ex 1 ex e0 = lim = exp'(0) = exp(0) = 1 x x x Etude de la fonction exponentielle ensemble de définition limites aux bornes dérivablilité Tableau de variations : lim x page 81 et 82 ex et 16 lim x Signe de exp'(x) + Variations de exp 0 Courbe en indiquant les tangentes aux points d'abscisses 0 et 1. [...]

[...] Démonstration : Si f = A exp alors f est dérivable sur r en tant que fonction du type x a f (ax + où f est la fonction exp, a = k et b = 0 ; donc elle est dérivable sur r. De plus f ' = A k exp (kx ) = l exp = k f(x). Donc cette solution vérifie l'équation différentielle f ' = kf. Réciproquement, si f ' = kf, soit g = f exp kx). [...]

[...] La fonction exponentielle I L'équation différentielle y' = ky Introduction Activité 1 p 64 : étude d'un phénomène biologique Cf. fiche à remplir Grâce au mode List de la calculatrice, les élèves remplissent le tableau de résultats préparé, ils n'indiqueront la colonne t dans la calculatrice afin d'utiliser les six listes. (Menu, List, List 1 : List 2 : , List 3 : , List 4 : option List 3/List 2 ) t en heures List 1 D List 2 List 3 List 4 List 5 D List 6 D n'est ni proportionnelle à ni à D mais semble être proportionnelle à D et à t. [...]

[...] Il existe une unique fonction dérivable (et strictement positive) sur r telle que f ' = f et f = 1. C'est la fonction exponentielle, notée exp. exp = 1 ; on note e la valeur de exp ; e vaut environ 2,72. La démonstration a été faite dans la feuille annexe, troisième étape (unicité de la fonction) et deuxième étape (strictement positive). Solutions de l'équation f ' = kf Les solutions de l'équation f ' = kf sont les fonctions x a A exp où A est une constante réelle. [...]