La théorie de la dimension - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - La théorie de la dimension

Extraits

[...] Compléments et remarques sur la définition. _ Lorsqu'il peut y avoir ambiguïté au sujet du corps sur lequel est construit l'espace vectoriel on précisera système K-libre. Ainsi le système de complexes est R-libre mais n'est pas C-libre. En effet la combinaison linéaire x.1+y.i=0 entraîne la nullité des deux coefficients x et y lorsque ceux-ci sont supposés réels mais peut être réalisée avec un jeu de complexes non nuls (ex : x=i ; Remarquons que tout système C-libre sera nécessairement R-libre. [...]

[...] Ici le but à atteindre est la création d'une équipe S permettant de reconstituer tout vecteur de E comme combinaisons linéaires des éléments de et ceci de manière unique. On commence par choisir arbitrairement un vecteur e1 non nul dans E. _ Si tout vecteur de E est multiple de e1, le système est alors générateur de E et libre puisque e1(0E donc constitue une base de E. _ Sinon il existe au moins un vecteur de E non multiple de e1. Soit e2 un de ces éléments et S'=(e1,e2). [...]

[...] S base de E ( f est bijective. L'injectivité de f n'a pour l'instant pas fait l'objet d'une définition particulière. Nous allons combler ce vide en appelant système libre tout système S pour lequel f satisfait à l'injectivité, ou encore, puisque f est une application K-linéaire, tout système S pour lequel Ker(f) est réduit au zéro de Kn. Ceci se résume donc à : e en) Libre ( le seul jeu xn) de coefficients de K tel que est celui où chacun des coefficients xk est nul. [...]

[...] Théorème fondamental. Pour tout entier n non nul, n+1 vecteurs d'un K-espace E tous combinaisons linéaires d'un même système S de n vecteurs de E sont toujours en situation de dépendance linéaire. Nous allons procéder par récurrence sur l'entier n. Pour n=1. Soit un système réduit à un seul vecteur de E et S'=(u1, u2) formé de deux vecteurs multiples de e1, c'est à dire du type u1=ae1 ; u2=be1. On en déduit immédiatement la relation bu1-au2=0E qui assure le caractère lié du système S' lorsque le couple n'est pas identiquement nul. [...]

[...] En effet de la première on déduit directement l'injectivité de f ainsi que la surjectivité de g. L'étude ci dessus assure alors la bijectivité de g et f et la relation g=f Raisonnement identique à partir de la deuxième égalité en échangeant les rôles des deux applications Deux K-espaces de même dimension finie sont nécessairement isomorphes. Pour l'établir il suffit de remarquer que tout K-espace de dimension finie n est isomorphe à l'espace standard Kn par l'intermédiaire de l'application ( définie après le choix d'une base B=(e1,e2, .,en).de E comme v=x1e1+ .+xnen , xn). [...]