Les vecteurs aléatoires

Thèmes abordés

Vecteurs aléatoires, espérances, variances conditionnelles, couples aléatoires, loi jointe, lois marginales

Résumé du document

Prenons une personne au hasard. On note :
– X sa taille et Y son poids.
– X son âge et Y son salaire.
Ces variables varient-elles dans le même sens ? S'influencent-elles l'une-l'autre ?
Pour répondre à ces questions, on va regarder le comportement (la loi) du couple et non plus chaque variable séparément. On doit introduire la notion de vecteurs aléatoires.

Extraits

[...] y Cette loi est caractérisée par la densité conditionnelle ƒX(x) qui est donnée par : Chapitre 7 Vecteurs aléatoires 59 ƒ si x ; h(x , ƒ = , x IR = 0 ƒ = 0 si x ; h(x , Y y X avec D = DY Y Y La loi conditionnelle de Y sachant = existe si et seulement si x est tel que ƒX(x) c'est-à-dire, avec le domaine DX de la forme, x ; b[. x Cette loi est caractérisée par la densité conditionnelle ƒY(y) qui est donnée par : ƒ si y ; h(x , ƒ = , y IR = 0 ƒ = 0 si y ; h(x , X x Y avec D = DX X X Lien entre les différentes lois pour un couple aléatoire continu Propriété : La densité h(x , associée à la loi jointe est obtenue à partir des densités marginales et des densités conditionnelles : ƒY(y) x : ƒX(x) 0 et y I R h(x , = 0 x : ƒX(x) = 0 et y IR x h(x , X ƒY(y) x ; et y ; sinon x (Avec D = DX) h(x , Y ƒX(x) y : ƒY(y) 0 et x IR y : ƒY(y) = 0 et x IR y h(x , ƒX(x) y ; et x ; sinon y (Avec D = DY) II Espérances, Variances, Covariance et Coefficient de corrélation linéaire Remarque : Les définitions données ci-après sont données sous condition que les quantités définies existent. [...]

[...] ƒX D = DX = , : 0 < x < 1 et x < y < h(x , dy si x ; ƒX(x) = sinon 1 2(x + dy = [2xy + = 2x + 1 + = 1 + 2x x 1 + 2x si x ; Donc : ƒX(x) = sinon ƒY D = DY = , : 0 < y < 1 et 0 < x < h(x , dx si y ; ƒY(y) = sinon y 2(x + dx = + 2xy]y = + = 0 y si y ; Donc : ƒY(y) = sinon X et Y sont indépendantes si et seulement si y IR : h(x , = ƒX(x)·ƒY(y) Pour prouver que X et Y ne sont pas indépendantes, il suffit de trouver un couple y0) tel que h(x y0) ƒX(x0)·ƒY(y0). Prenons x0 = 0,8 et y0 = 0,5. ƒX(x0) 0 car x0 ; ƒY(y0) 0 car y0 ; h(x y0) = 0 car la condition x < y n'est pas satisfaite y0) D h(x y0) 0. Chapitre 7 Vecteurs aléatoires 67 Conclusion : ƒX(x0)·ƒY(y0) 0 = h(x y0) X et Y non indépendantes. [...]

[...] Loi jointe d'un couple aléatoire discret La loi d'un couple aléatoire discret , est caractérisée par la donné de : Valeurs prises par X : ) = {xi , i Valeurs prises par Y : ) = {yj , j Probabilités jointes : i j IP(X = xi , Y = yj) = IP((X , = (xi , Exemple : On dispose d'une urne U = 2N} ℰ = "Tirage simultané de 3 boules de = {ω = b bi bj , bi 3 Card( ) = C 5 = IP(ω) = 10 Soit X le nombre de boules R obtenues. Soit Y le nombre de boules N obtenues. [...]

[...] On doit introduire la notion de vecteurs aléatoires. Supposons une expérience ℰ modélisée par ( , n sur toute application V définie par : , IP). On appelle vecteur aléatoire de dimension IRn ω V(ω) = (X1(ω) Xn(ω)) où les Xi sont des variables aléatoires réelles On va principalement regarder les couples aléatoires réelles (CAR). I Couples aléatoires, loi jointe, lois marginales Généralités sur les couples aléatoires Définition Un couple aléatoire est un vecteur aléatoire de dimension n = 2. [...]

[...] Loi de Un = Min{X Xn} Soient X Xn n variables indépendantes telles que, i = Fi soit la fonction de répartition de Xi. Si on note FU la fonction de répartition de Un, on a : FU(u) = 1 . Loi de Vn = Max{X Xn} Chapitre 7 Vecteurs aléatoires 69 Soient X Xn n variables indépendantes telles que, i = Fi soit la fonction de répartition de Xi. Si on note FV la fonction de répartition de Vn, on a : FV(v) = F1(v) . [...]