La topologie générale en mathématiques

La topologie générale en mathématiques

Résumé du document

On peut tout d'abord s'intéresser aux espaces topologiques et aux ensembles ouverts. Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille O de parties de E vérifiant les trois axiomes suivants : toute réunion d'éléments de O est un élément de O. Toute intersection finie d'éléments de O est un élément de O. Le 0 et E appartiennent à O.

Sommaire

I. Espaces topologiques et ensembles ouverts
A. Définitions
B. Remarque
C. Exemple

II. Remarque
A. Proposition
B. Notation
C. Définition

Informations sur le cours

Laura
  • Nombre de pages : 1 pages
  • Publié le : 27/03/2019
  • Langue : français
  • Date de mise à jour : 27/03/2019
  • Consulté : 0 fois
  • Format : .pdf

Extraits

[...] Topologie générale Espaces topologiques et ensembles ouverts Définition : Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille  de parties de E vérifiant les 3 axiomes suivants : Toute réunion d'éléments de  est un élément de  Toute intersection finie d'éléments de  est un élément de  Le  et E appartiennent à  Définition : Les éléments de la topologie  sont appelés les ouverts de E. Remarque : L'ensemble E muni de la topologie  est appelé espace topologique et est noté : ). [...]


[...] Proposition : Soient un espace topologique et x0  E. Si V et W sont 2 sous-ensembles de E tels que V  W et V est un voisinage de x0 alors W est aussi un voisinage de x0. L'intersection de 2 voisinages de x0 est un voisinage de x0. Si V est un voisinage de x0 alors il existe « V tilde » voisinage de x0 tel que « V tilde »  V avec V voisinage de tous les points de « V tilde ». [...]


[...] La topologie discrète est la topologie la plus fine qu'on puisse définir sur un ensemble. Définition : Soient ) un espace topologique, x0  E et V  E. On dit que V est un voisinage de x0 s'il existe un ouvert ,    tel que : x0   V. Exemple : E = IR muni de sa topologie usuelle x0 = 8,6 V1 = ; n'est pas un voisinage de x0. V2 = ; est un voisinage de x0. [...]

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