La topologie générale en mathématiques - publié le 27/03/2019

Thèmes abordés

Topologie générale, mathématiques, espace topologique, ensemble ouvert, intersection finie, base de voisinage, intervalle ouvert, topologie grossière, topologie discrète

Résumé du document

On peut tout d'abord s'intéresser aux espaces topologiques et aux ensembles ouverts. Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille O de parties de E vérifiant les trois axiomes suivants : toute réunion d'éléments de O est un élément de O. Toute intersection finie d'éléments de O est un élément de O. Le 0 et E appartiennent à O.

Extraits

[...] Topologie générale Espaces topologiques et ensembles ouverts Définition : Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute famille  de parties de E vérifiant les 3 axiomes suivants : Toute réunion d'éléments de  est un élément de  Toute intersection finie d'éléments de  est un élément de  Le  et E appartiennent à  Définition : Les éléments de la topologie  sont appelés les ouverts de E. Remarque : L'ensemble E muni de la topologie  est appelé espace topologique et est noté : ). [...]

[...] Proposition : Soient un espace topologique et x0  E. Si V et W sont 2 sous-ensembles de E tels que V  W et V est un voisinage de x0 alors W est aussi un voisinage de x0. L'intersection de 2 voisinages de x0 est un voisinage de x0. Si V est un voisinage de x0 alors il existe « V tilde » voisinage de x0 tel que « V tilde »  V avec V voisinage de tous les points de « V tilde ». [...]

[...] La topologie discrète est la topologie la plus fine qu'on puisse définir sur un ensemble. Définition : Soient ) un espace topologique, x0  E et V  E. On dit que V est un voisinage de x0 s'il existe un ouvert ,    tel que : x0   V. Exemple : E = IR muni de sa topologie usuelle x0 = 8,6 V1 = ; n'est pas un voisinage de x0. V2 = ; est un voisinage de x0. [...]