Le dénombrement

Résumé du document

Cours de mathématiques s'adressant aux élèves des classes préparatoires HEC. Il comprend le cours sur le dénombrement en entier avec les définitions, les propriétés et les théorèmes ainsi que quelques astuces pour vous aider à aller plus vite dans la résolution des problèmes de dénombrement qui font souvent partie des questions préliminaires dans les exercices de probabilités.

Extraits

[...] Parties d' ensemble ni un Si A A on dé nit le complémentaire: CE = A = fx 2 x 2 Ag = card A = card On note P l' ensemble des parties de E : Parties à p éléments: card card = 2n (card = Def : kune combinaison (sans répétition) de p éléments de E est une partie de E à p éléments Th et def: Le nombre de parties à p éléments de E vaut: n p = Ap n Pour 0 p n n p = n = : : : p + p Rq: on note souvent Cn = n p Propriétés des coe¢ cients binomiaux 8 > > > > > > > > > > > : n 0 = n n n 2 n 1 = n n 1 3 = n n 2 = n 8n 2 2. 8n 2 pour 0 p n p = n n p 3. [...]

[...] 8n 2 pour 1 p n : n p = n p Formule du triangle de Pascal: 8n 2 pour1 p n p = n p + n p 1 On construit alors le triangle de Pascal en commençant par la première ligne et en appliquant la formule : n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 Formule du binôme de Newton 8 2 R2 ; 8n 2 N : + b)n = n X k=0 n k ak b n k = n X k=0 n k an k b k 6. 8n 2 N : 8 n > X > > > > > k=0 X > n > > > ( 1)k > : n k 4 7. 8n 2 n n 2 j=0 E n X j=0 n 2j = n 2j + 1 = 2n Formule de Vandermonde 8 2 N ; avec la convention En particulier 8n 2 9. [...]

[...] ECE 2 DÉNOMBREMENTS I. Cardinaux des ensembles nis 1. Rappels sur les fonctions f : E ! [...]

[...] F est dite injective si f = f ) x = y f : E ! F est dite surjective si tout élément de F admet un antécédent: 8y 2 9x 2 E tq y = f On a alors: tout élément de F admet un unique antécédent par ce qui permet de dé nir une application réciproque notée f 1 et qui véri f ( 1 f : E ! F est dite bijective si f est à la fois injective et surjective f 1 = x f 1 = y x=f 1 , y = f On a alors: 8x 2 8y 2 ou encore f of 1 = IdF et f 1 of = IdE 2. [...]