Les fonctions de deux variables - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les fonctions de deux variables

Extraits

[...] Il vient alors : Puisque h1 et h2 sont majorées de manière évidente en valeur absolue par , il est évident de par la continuité des dérivées partielles de f sur que le quotient tend vers 0 lorsque h tend vers La fonction h ( apparaît donc bien comme une bonne approximation affine de h ( au voisinage de 0). (Ecart négligeable devant la norme de h). D'où l'appellation fonction affine tangente pour la fonction définie sur par la formule : x ( '(a)](x-a). Règles de dérivation. Les dérivées suivant un vecteur étant définies à partir de la dérivation d'une fonction de variable réelle définie par restriction de la fonction à un segment de on ne sera pas surpris d'obtenir des règles opératoires analogues aux résultats classiques de la dérivation. [...]

[...] En tout autre point de la diagonale principale, on montrer facilement que les dérivées partielles n'existent pas. ( x ( x0) n'admet pas de limite en x0). Par définition même : . Il s'agît encore d'un exemple où le théorème de Schwartz ne s'applique pas Partons du développement avec ( de limite nulle en 0. On en déduit que sur O : avec . Ainsi f admettra pour limite 0 en tout point y0) de l'axe des ordonnées et tendra vers le réel x0 en tout point de l'axe des abscisses. [...]

[...] Solutions des exercices sur les fonctions de deux variables Il est facile de mettre en évidence des paraboles passant par l'origine telles que les restrictions de f à ces courbes ait un comportement limite différent. Pour m réel non nul considérons la fonction de la variable réelle t , à valeurs dans et définie par : . Elle admet pour limite lorsque t tend vers 0. La composée t ( f =lm est constante et admet donc cette valeur lm comme limite en 0. [...]

[...] Les hypothèses du théorème de Schwartz ne sont pas réalisées ici En tout point distinct de l'origine, les dérivées partielles premières s'obtiennent directement à l'aide des règles classiques de dérivation des fonctions d'une variable s'annule en tout point d'ordonnée nulle). On obtient de même . Les dérivées d'ordre 2 s'obtiennent également sans problèmes en tout Pour l'étude à l'origine, on revient à la définition de base : Le problème de la continuité des dérivées partielles se pose uniquement à l'origine.( Aux autres points la conclusion est évidente d'après les théorèmes généraux). [...]

[...] La fonction g est donc bien continue en a. Pour l'existence de la dérivée partielle suivant la première variable en étudions le comportement de x à l'origine. Remarquons que l'on peut écrire le numérateur comme : = Or f étant de classe C1 sur on peut écrire le développement suivant à l'origine : f(0)=f'(0)t+o(t). On sait que par intégration, si G désigne une primitive de t ( nulle en on obtiendra : , avec ( fonction de limite nulle en 0. [...]