Exercice guidé de mathématiques sur la matrice carrée d'ordre 2

Thèmes abordés

Exercice guidé de mathématiques, matrice carrée d'ordre 2, théorème de Cayley-Hamilton, matrice, application linéaire, espace vectoriel, équation matricielle

Résumé du document

Ce document représente un exercice guidé de mathématiques se concentrant sur la matrice carrée d'ordre 2.
On se propose de résoudre une équation matricielle dont les solutions sont des matrices carrées d'ordre 2.

Extraits

[...] De plus det( det(A)I = ad - bc ad - bc = - A 2 - tr(A)A Donc A 2 - tr(A)A + det( det(A)I = Soit les matrices A = a b o k et B = . c d l m On a det( det(A) = ad - bc ; det det((B) = om - kc et A × B = ao + bl ak + bm . co + dl ck + dm Donc det det((AB) = (ao + bl)(ck + dm) - (co + dl)(ak + bm) det det((AB) = acok + adom + bckl + bdlm - acok - bcom - adkl - bdlm det( det(AB) = adom + bckl - bcom - adkl Et det( det(A) × det det((B) = (ad - bc)(om - kl) = adom - adkl - bcom + bckl On a finalement det det((AB) = det det((A) × det det((B) = adom - adkl - bcom + bckl 𝛼 × tr(A) + 𝛽 × tr(B) = 𝛼(a + + 𝛽(o + 𝛼×a+𝛽×o 𝛼×b+𝛽×k 𝛼×c+𝛽×l 𝛼×d+𝛽×m tr(𝛼 × A + 𝛽 × = 𝛼 × a + 𝛽 × o + 𝛼 × d + 𝛽 × m = 𝛼(a + + 𝛽(o + 𝛼×A+𝛽×B = ∀ 𝛼, 𝛼, 𝛽 ∈ R B ∈ M2 2 : tr(𝛼 × A + 𝛽 × = 𝛼 × tr(A) + 𝛽 × tr(B) Par définition l'application A → tr(A) est une forme linéaire sur M 2 t 3 - 3t 2 + 4 = 0 t = est solution évidente. [...]

[...] Montrer det( det(A - 3I) = 0 ou det( det(A) = 0. On suppose det( det(A) = 0 Montrer que A 2 = tA, puis exprimer A 3 en fonction de I. Montrer que t est solution d'une équation du troisième degré. En déduire les matrices solutions A dont le déterminent est nul. [...]

[...] En faisant la division euclidienne t 3 - 12t 2 + 45t - 50 par t - 2 on a alors t 3 - 12t 2 + 45t - 50 = - t 2 - 10t + 25 = On remarque t 2 - 10t + 25 = - On conclut - 2 - = - 4 ⇔ t = 2 ou t = 5 II-Problème On pose M = - On sait que A 3 - 3A 2 = M ⇔ A 2 - 3I) = M ⟹ det det((M) = det A 2 × det det((A - 3I) Or det det((M) = - 2 ×- 2 - 2 × 2 = Nous avons donc det( det(A - 3I) = 0 ou det A 2 = 0 ⇔ det det((A) × det det((A) = 0 ⇔ det( det(A) = On suppose det( det(A) = 0. D'après le théorème de Cayley-Hamilton : A 2 - tA + det det((A)I = O . [...]

[...] On suppose det( det(A - 3I) = 0 Montrer que A 2 = tA - 3(t - 3)I , puis exprimer A 3 en fonction de I. Montrer que t est solution d'une équation du troisième degré. En déduire les matrices solutions A lorsque det( det(A - 3I) = Correction Préliminaires a b . c d a 2 + bc ab + bd On a ainsi A 2 = ac + cd d 2 + bc Soit la matrice A = det( det(A) = ad - bc et tr(A) = a + d . [...]

[...] Une application linéaire d'un R-espace vectoriel E dans un R-espace vectoriel F est une application f de E dans F telle que : f(𝛼A + 𝛽B) = 𝛼f(A) + 𝛽f(B) pour tout (𝛼, 𝛽) dans R 2 et dans M 2 Une forme linéaire sur un R-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans R. Montrer que l'application A ↦ tr(A) est une forme linéaire. Résoudre l'équation t 3 - 3t 2 + 4 = Résoudre l'équation - 2 - = - II-Problème On cherche les matrices A dans M 2 qui satisfont l'égalité : A 3 - 3A 2 = On note A une solution de l'équation et t sa trace. [...]