Les anneaux - publié le 08/10/2008

Résumé du document

Différents exercices sur les Anneaux: 24 exercices et des corrigés.

Extraits

[...] Montrer qu'il existe n0 N tel que I = In En d´duire que RR n'est pas principal. e Exercice 15. Endomorphismes d'un groupe commutatif Soit G un groupe additif et A = {morphismes f : G G}. Montrer que est un anneau. On prend G = Z/nZ, n 2. Montrer que A est l'ensemble des applications : G x G avec k et kx que A est isomorphe ` l'anneau Z/nZ. a anneaux.tex page 2 anneaux.tex page 3 Exercice 24. [...]

[...] e Si A est int`gre et commutatif, montrer que x xn est un morphisme d'anneau. e Exercice 6. Anneau de caract´ristique 2 e Soit A un anneau non nul tel que : x x2 = x. Exemple d'un tel anneau ? Quels sont les ´l´ments inversibles de A ? ee Montrer que : x x + x = 0. En d´duire que A est commutatif. e Pour y A on pose : x y a A tq x = ay. [...]

[...] e anneaux.tex page 4 Solutions Exercice 3. A est int`gre car est premier et si a A \ alors a a (a2 ) qui est premier donc a2 divise a d'o` a est e u inversible. Exercice 6. 1. x + y = + y)2 = x2 + y 2 + xy + yx = x + y + xy + yx xy + yx = 0. Pour y = 1 : x + x = 0 1 = Pour y quelconque : xy = = yx. [...]

[...] Montrer que 1 a est inversible (remarquer que 1 = 1n an Soient a nilpotent et b inversible. Montrer que a + b est inversible. Exercice 8. Radical d'un id´al e Soit A un anneau commutatif et I un id´al de A. e On note I = A tq n N tq xn (radical de I). Montrer que I est un id´al de A. e Montrer que I = I. Montrer que I J = I J et I J I + J. + Exemple : A = I = 3648Z. [...]

[...] e On note IJ = {a1 b1 + . + an bn tq ai bi J}. Montrer que IJ est un id´al de A. e Montrer que I(J + = IJ + IK. On suppose I + J = A. Montrer que IJ = I J. Pour A = I = nZ, J = pZ, qu'est-ce que IJ ? Exercice 10. Relation d'´quivalence compatible avec les op´rations d'anneau e e Soit A un anneau commutatif. Soit R une relation d'´quivalence compatible avec l'addition et la multiplication dans A. [...]