Sujet 1 : Description de l’activité radioactive grâce à la loi de décroissance exponentielle
Sujet 2 : Calcul du volume d’une sphère grâce aux intégrales
Sujet 3 : Méthode de bissection la résolution d’une équation
Sujet 4 : Utilisation des coordonnées polaires pour s’orienter dans l’espace
Sujet 5 : Méthode semi-probabiliste pour le calcul des charges sur une structure
Sujet 1 : Description de l’activité radioactive grâce à la loi de décroissance exponentielle
Les fossiles composés de matière organique riche en carbone 12 stable, contiennent également du carbone 14 radioactif susceptible de se transformer en azote 14. L’activité radioactive d’un échantillon est modélisée par la loi de décroissance exponentielle, l’étude du rapport 14C/14N permet donc retrouver analytiquement son âge.
- Problématique : Comment estimer mathématiquement l’âge des fossiles ?
- Objectif : Comprendre comment les mathématiques permettent de dater des fossiles en modélisant leur activité radioactive
- Eléments de réponses :
- Introduction : Commenter le fait qu’on estime l’âge des fossiles à plusieurs millions d’années
- Expliquer l’origine de la radioactivité (les composants de l’atome, les isotopes)
- Rappeler la loi de décroissance exponentielle et expliquer comment elle s’applique à la matière organique
- Retrouver pas à pas l’âge en appliquant la fonction logarithme népérien
- Conclusion : Conclure que les mathématiques ont permis de modéliser le comportement radioactif d’un échantillon et d’en déduire son âge, rappeler les limites de la méthode mathématiques en parlant des variables qui peuvent influencer la radioactivité (facteurs environnementaux, appareils de mesures, etc.)
- Cycle du carbone, combustibles fossiles et activités humaines
- En quoi le fluorodésoxyglucose, molécule radioactive utilisée lors d'un PET-SCAN, permet-il de détecter de manière très précise des cellules cancéreuses chez un patient ? - Grand oral de Physique-Chimie
Sujet 2 : Calcul du volume d’une sphère grâce aux intégrales
Le calcul du volume de solides simples comme les cylindres et les prismes droits est facilement vérifiable par un raisonnement intuitif : on calcule l’aire de la base et on la multiplie par la hauteur. En revanche le calcul du volume d’une sphère requiert l’utilisation d’un nouveau système de coordonnées et d’intégrales multiples, car elle n’a ni base ni hauteur.
- Problématique : Pourquoi le volume d’une sphère est égal à 4/3 πR^3 ?
- Objectif : Démontrer le lien intrinsèque entre le calcul analytique et la géométrie grâce à l’exemple d’une sphère
- Eléments de réponse :
- Introduction : Rappeler la définition d’un volume et la formule du volume d’une sphère 4/3 πR^3
- Expliquer comment calculer intuitivement le volume d’un prisme droit ou d’un cylindre
- Souligner le fait qu’on ne puisse pas procéder de même pour une sphère
- Expliquer le principe du système de coordonnées sphériques, citer ses avantages par rapport aux coordonnées cartésiennes dans cette situation
- Réaliser les trois intégrales successives qui permettent d’obtenir le volume 4/3 πR^3
- Prendre l’exemple d’un cube et calculer son volume en réalisant trois intégrales en coordonnées cartésiennes
- Conclusion : Conclure sur l’importance de connaître l’origine des formules usuelles de géométrie, élargir sur la possibilité de calculer le volume de formes complexes par cette méthode et sur les applications possibles
Sujet 3 : Méthode de bissection la résolution d’une équation
Durant le jeu télévisé « Le Juste Prix » le candidat arrivé en finale doit deviner le prix d’un objet de valeur dans un temps imparti pour pouvoir le gagner. A chaque proposition le présentateur lui indique si son estimation est supérieure ou inférieure au prix. Pour optimiser ses chances il pourrait utiliser la méthode mathématique de bissection.
- Problématique : Comment s’inspirer de l’algorithme de bissection pour deviner le prix d’un objet ?
- Objectif : Savoir appliquer un raisonnement mathématique à une situation de la vie quotidienne
- Eléments de réponse :
- Introduction : Rappeler le déroulement et les règles du jeu
- Expliquer l'importance de réduire au minimum le nombre de propositions pour maximiser les chances de gagner
- Expliquer pas à pas l’algorithme de bissection
- Illustrer comment le candidat peut utiliser la méthode de bissection pour estimer le prix de l'objet
- Conclusion : Souligner les méthodes mathématiques telles que la bissection sont applicables pour optimiser des situations de la vie quotidienne
Sujet 4 : Utilisation des coordonnées polaires pour s’orienter dans l’espace
Pour implanter correctement un bâtiment on fait appel à la topographie, la science qui permet les relevés in-situ et le tracé des plans. L’instrument de mesure principale du topographe est le tachéomètre, qui permet de mesurer les angles (horizontaux et verticaux) et la distance entre deux cibles.
- Problématique : Comment implante-t-on un bâtiment grâce à la trigonométrie ?
- Objectif : Expliquer une application concrète de la trigonométrie dans le domaine de la topographie
- Eléments de réponse :
- Introduction : Définir la notion de topographie et présenter le fonctionnement général du tachéomètre
- Présenter le système de coordonnées polaires utilisé par le tachéomètre
- Montrer comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et inversement
- Montrer à partir de l’expression des coordonnées cartésiennes avec les variables polaires que celles-ci respectent les différentes formules de trigonométrie vues en cours
- Illustrer par un bref exemple comment à partir d’un tachéomètre on peut relever la hauteur d’un bâtiment ou la longueur d’une ligne
- Conclusion : Commenter sur le fait que les angles et les formules de trigonométrie permettent d’établir un nouveau système de coordonnées, expliquer que les coordonnées polaires sont plus intuitives et efficaces pour une application en topographie
Sujet 5 : Méthode semi-probabiliste pour le calcul des charges sur une structure
Les bâtiments supportent différents types de sollicitations (charges permanentes, charges d’exploitations, charges climatiques, etc). Elles sont prises en compte dans la conception préliminaire et majorées par des coefficients de sécurité été déterminées selon une approche probabiliste.
- Problématique : Quel rôle joue les probabilités dans la conception d’un bâtiment ?
- Objectif : Comprendre comment on estime grâce aux probabilités les charges supportées par les infrastructures
- Eléments de réponse :
- Introduction : Citer les différents types de sollicitations qu’un bâtiment peut subir (poids propre, poids des utilisateurs, vent, neige etc) et souligner leur nature transitoire et aléatoire
- Expliquer le principe du dimensionnement des infrastructures : on conçoit en considérant les charges comme majorées par des coefficients de sécurité déterminés
- Expliquer le principe de la fonction de répartition et montrer comment elle s’applique aux variables E (sollicitations) et R (résistance)
- Définir les notions d’état limite ultime et état limite de service
- Conclusion : Souligner l’importance des probabilités dans la conception des normes de sécurité
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