Les fractions rationnelles - publié le 30/09/2023

Thèmes abordés

Fractions rationnelles, polynôme, élément simple de premier espace, élément simple de deuxième espace, division euclidienne, théorème de Bézout

Résumé du document

Le document comprend un cours d'algèbre sur les fonctions rationnelles, suivi d'exercices.

Extraits

[...] Un représentant d'une fraction rationnelle F est dit représentant irréductible Si A0 et B0 n'ont pas de diviseur commun autre que les constantes. On dit aussi que est la forme irréductible de la fraction rationnelle F(x). Toute fraction rationnelle , peut s'écrire sous la forme irréductible : c'est-à-dire il existe deux polynômes P1et Q1avec P1 et Q1 sans diviseur commun sauf les constantes. - Exemples : Tout polynôme est une fraction rationnelle : . Soit la fraction rationnelle : . et sont des représentants de F. Le représentant irréductible dans R de F est . [...]

[...] Application : - Trouver les racines rationnelles du polynôme : = 3X4 − 2X3 − 12X2 + 15X − 14. - Montrer que le polynôme = X3 − 3X2 + 1 n'a pas de racines rationnelles. Exercice 7 : Décomposer en éléments simples dans puis dans : Exercice 8 : Soit P un polygone de degré supérieur à un. On note α1,α αn les racines deux à deux distinctes de P et u1,u ,un leur multiplicité. Montrer que les pôles de sont simples, et que la décomposition de est : . [...]

[...] Montrer, en utilisant le théorème de Bézout, qu'il existe une décomposition unique de la forme : Telle que : Degré h degré'(Q1) et degré h degré'(Q2) . Application : Trouver la décomposition en éléments simples de : . Exercice 10 : Déterminer la partie principale relative au pôle −2 de la fraction : . En déduire sa décomposition en éléments simples dans R[X]. Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : . Exercice 11 : Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : , . [...]

[...] Exercices Exercice 1 : Décomposer en éléments simples dans les fractions rationnelles suivantes : . Exercice 2 : Effectuer la division euclidienne de X5 + 2 par X2 + X + 1. En déduire la décomposition en éléments simples dans de Exercice 3 : Décomposer en éléments simples dans la fraction rationnelle : . Exercice 4 : Montrer que 2 est racine du polynôme P = X4−5X3+6X2− 4X − puis déterminer son ordre de multiplicité. Décomposer P en produit irréductibles dans C[X]. [...]

[...] Sa partie entière est donc = 2x2 + 9x + 25. - Définition : On appelle élément simple de premier espace sur K toute fraction rationnelle de la forme : , β ∈ K et m ∈ N∗). On appelle élément simple de deuxième espace sur R toute fraction rationnelle de la forme : , Avec a,b,u,λ ∈ R tels que le discriminant u2 − 4λ [...]