Statistiques à deux variables - publié le 03/11/2023

Thèmes abordés

Statistique à deux variables, régression linéaire, valeur réelle, valeur de la régression, acheteur potentiel, recette maximale, vecteur unitaire, axe des ordonnées

Résumé du document

On va utiliser, comme suggéré, la méthode des moindres carrés, cette méthode consiste à trouver une régression linéaire de la forme y=ax+b telle que l'on minimise la somme de tous les écarts entre la valeur réelle et la valeur de la régression au carré.

Extraits

[...] Ainsi, pour réobtenir la courbe représentative de f à partir de g il faut un vecteur unitaire de l'axe des abscisses deux dois plus petit soit u=12i. On a simplement à multiplier pour chaque point l'image par deux ce qui donne (en rouge C et en bleu C3) : On a exactement la même observation que la question mais avec une dilatation selon l'axe des ordonnées. Ainsi, pour réobtenir la courbe de f à partir de celle de on pourrait réduire de moitié le vecteur des ordonnées mais ici on ne peut utiliser que celui des abscisses. [...]

[...] D'après ce qui précède on sait que le maximum de la fonction est atteint en x=1 (cela se vérifie aussi avec le fait que la dérivée s'annule). Or en x=1 la fonction prend la valeur φ 1=1. Ainsi, on en déduit que ∀x>0, φ x≤φ 1=1. Pour ce qui est de la limite lorsque x tend vers on a limx-->0e1-x=e qui est une constante et limx-->0lnx=-infinity donc finalement limx-->0f x=-infinity. D'autre part limx-->+infinity1-x=-infinity donc limx-->+infinitye1-x=limy-->-infinityey=0 et limx-->+infinitylnx=+infinity donc finalement limx-->+infinityf x=+infinity. On vérifie d'abord que f est dérivable sur ce qui est le cas. [...]

[...] La recette vaudrait alors r380=42 759Euro (contre 41 590Euro pour a=-0,26). On a pour illustration avec les coefficients non arrondis : Problème 2 : On peut représenter comme demandé le nuage de points : Il suffit d'appliquer la fonction logarithme ce qui donne : Une régression linéaire par la méthode des moindres carrés donne : r≈0,97 (r2≈0,94)m≈0,18p≈6,46. Il n'y a pas vraiment d'intérêt car l'échelle n'est pas du tout la, même, à la rigueur en assignant à chaque série un axe des ordonnées différents : On a lnIi=m lnti+p donc on a également Ii=exp⁡(m lnti+p) et pour l'année 1997, on a d'après les rangs ti=17. [...]

[...] On en déduit que la courbe C est au-dessus de Γ. On a limx-->+infinitye1-x=limx-->+infinitydx=0 (comme à la question On a les courbes suivantes avec C en rouge et Γ en vert : Problème 2 : La courbe représentative de f est d'après la définition de l'énoncé : g est en fait « décalée » par rapport à f puisque lorsque par exemple pour g l'image est celle de (en rouge C et en bleu C1). En fait on construit C1 en translatant C de de sur l'axe des abscisse x. [...]

[...] En d'autres termes, on cherche à minimiser i=16(y-yi)²=i=16(axi+b-yi)². En notant (xi,yi) les données brutes, les valeur moyennes des données brutes et (sx,sy) les écarts types, on a : x=16i=16xi y=16i=16yi sx=16i=16(xi-x)² sy=16i=16(yi-y)² a=i=16(xi-x)(yi-y)i=16(xi-x)² b=y-ax r=16i=16xi-xyi-ysxsy On trouve alors : xi yi xi-x yi-y xi-xyi-y xi-x² yi-y² -25 - -6,67 - -16,67 - -31,67 - Puis a≈-0,26 b≈226,524 et r≈-0,98 (r2≈0,96). Ainsi, on a maintenant un modèle qui à tout prix x en Euro associe un nombre d'acheteur potentiel y. De plus, on définit la recette comme la somme des ventes, donc si on se fixe un prix on a un nombre d'acheteurs potentiels et donc une recette rx=xyx=ax+bx=-0,3x+226,524x. [...]