Les dérivées - publié le 07/11/2023

Thèmes abordés

Fonction dérivée, sens de variation, tableau de variation, équation, racine réelle

Résumé du document

Ce document comporte 3 exercices corrigés de mathématiques sur les fonctions dérivées.

Extraits

[...] Le contour intérieur du canal est constitué du périmètre du rectangle avec un côté en moins (dans le sens de la largeur), ainsi, le contour intérieur vaut gh=2xh+lh=2h+20h. g est dérivable sur est sa dérivée vaut g'h=2-20h². On cherche quand cette dernière est négative soit 2-20h2≤0 ce qui équivaut à 2≤20h² puis 2h2≤20 (car et enfin h2≤10. Il vient alors : h +infinity 0 + g On a vu que pour résoudre ce problème, il faut avoir le plus petit contour AB+BC+CD intérieur. Or on vient de voir que l'on minimise cette longeur g pour h=10. Ainsi, le frotement minimal est obtenu pour h=10 et l=2010. [...]

[...] On a donc la fonction sh strictement croissante sur ]-infinity;+infinity[ et continue, à image dans ]-infinity;+infinity[ donc d'après le thorème de la bijection continue, pour tout t de ]-infinity;+infinity[, il existe un unique x de l'intervalle ]-infinity;+infinity[ tel que shx=t. La dérivée de f vaut ft=1+2t21+t²t+1+t² (car ln'u=u'u et u'=u'2u). Par composition, on sait que f'ut=u'tf'ut=u'(t)1+2u(t)21+u(t)²u(t)+1+u(t)². Soit t dan on a : shft=eln⁡(t+1+t2)-e-ln⁡(t+1+t2)2=t+1+t2-1t+1+t22=12t+1+t22-1t+1+t2=12t2+2t1+t2+1+t2-1t+1+t2=122t2+2t1+t2t+1+t2=122t(1+1+t2)t+1+t2=t On a montré que pour tout t de R on a shft=t. L'équivalence vient de l'unicité de x. [...]