Les espaces vectoriels - publié le 28/02/2023

Thèmes abordés

Mathématiques, espace vectoriel, famille de vecteurs, Sciences - Ingénierie - Industrie, sous-espace vectoriel, algèbre linéaire, famille génératrice de vecteurs, famille libre de vecteurs, ensemble vectoriel

Résumé du document

Ce document est une fiche de révision sur les espaces vectoriels en mathématiques.

Extraits

[...] + λp x→p ⇒ { ፧λλ1 p liée ssi pas libre Méthode pour montrer qu'une famille est liée ou pas : → ‐ on prend λ et tq λx→1 + μx→2 = 0 ‐ si on trouve les deux réels égaux et nuls »> libre ‐ sinon »> liée ⇢E ​ nlever un vecteur d'un​ famille génératrice​ : Si u→ u→p est une famille génératrice de E Si u→p est un CL de la famille ( u→ u→p−1 ) ➢ p - MATHS Les espaces vectoriels ALORS la famille tronquée ( u→ u→p−1 ) est famille génératrice de E ⇢A ​ jouter un vecteur à une famille libre : Si la famille u→ u→p est libre Si u→ n'est pas CL de cette famille ALORS la famille augmenté ( u→ u→p , u→ ) est également libre ⇢B ​ ases d'un EV : une famille est une base d'un ℝEV ssi elle est l​ ibre et génératrice​. ⇢C ​ oordonnée dans la nouvelle base Soit u→ u→p une base du 𝕂EV d'élément quelconque u→ il existe des unique scalaire( p ) tq x→ = λ1 x→1 + . [...]

[...] ; u→p ) = V ect (u→1 ; . ; u→p−1 ) ⇢ ​Intersection de SEV F ⋂ G est un SEV de E → → ⇢ ​Somme F + G est l'ensemble {x→ ∈ E / ∃ f ∈ F , g→ ∈ x→ = f + g→} qui est un SEV de E → ⇢ ​Somme direct F + G ssi ∀x→ ∈ F + ∃u→ ∈ F , v→ ∈ G / x→ = u→ + v→ ; F + G ssi F ⋂ G = E } → ⇢ ​Ev supplémentaires F et G sont supplémentaires ssi E=F+G et F ⋂ G = E } FAMILLES FINIES DE VECTEURS ⇢ ​Famille génératrice : S ​ i tous les vecteur de F s'écrivent comme une combinaison linéaire des vecteurs (u→1 ; . [...]

[...] ; u→p ) alors, on dit que cette famille est génératrice de F ➢ ​Méthode pour donner une famille génératrice d'un EV E : prendre une élément quelconque de E chercher à l'écrire comme une combinaison linéaire de vecteurs explicites c'est vecteurs forme la famille génératrice ⇢ ​Famille liée ou libre Soit (u→1 ; . ; u→p ) une famille de p vecteurs d'un EV E libre ssi λ1 x→1 + . [...]

[...] + λp x→p ( p ) sont les nouvelles coordonnées de u→ dans la base F ⇢B ​ ases adapté à des espaces supplémentaires : (u→ u→m , u→m+ u→p ) est libre : V ect(u→ u→m ) et V ect(u→m+ u→p ) en somme direct → ​ (u→ u→m , u→m+ u→p ) base de E → V ect(u→ u→m ) et V ect(u→m+ u→p ) → F et G supplémentaire dans E → ALORS (u→ u→m , u→m+ u→p ) base de E = F ⊕ E POLYNÔMES ET ALGÈBRE LINÉAIRE ⇢S ​ tructure d'EV Soit 𝕂[X] un 𝕂EV, alors 𝕂​n​[X] (degré n ) est un SEV de 𝕂[X] ⇢F ​ amille polynomiale de degré échelonnée Soit F ​ P P n ) tq deg(P 0 ) [...]

[...] Les espaces vectoriels MATHS Les espaces vectoriels LA BASE DE LA BASE ⇢ ​Définition : ​ Soit E un ensemble muni d'une application “ ⊕ ” : E × E → E »> loi de composition interne (LCI) d'une application “.” : × E → E »> loi de composition externe (LCE) ( E , ⊕ ) est un 𝕂-espace vectoriel ( 𝕂EV ) élément de E : vecteurs ; élément de 𝕂 : scalaires ⇢ ​EV de référence : ℝ​n​ : ℝEV - ℂ : 𝕂EV - ​F​ ; : EEV matrices ​M​n,p​(𝕂) : 𝕂EV - suites 𝕂​ℕ​ : 𝕂EV ⇢ ​Combinaison linéaire Soit + ) un 𝕂EV et x→ x→ x→p des vecteurs de E : u→ est une CL ssi ∃( p ) ∈ p / u→ = ∑ λi .x→i = λ1 x→1 + . [...]