Le produit scalaire

Résumé du document

Cours de mathématiques sur le produit scalaire, présentant les différentes expressions du produit scalaire de deux vecteurs et les principales définitions et égalités qui sont à maitriser dans ce chapitre. Chaque règle de calcul est illustrée par un exemple qui aide pour la compréhension du chapitre. Ce cours est complété par un second intitulé "Applications du produit scalaire" qui regroupe toutes les formules de trigonométrie, les relations métriques dans le triangle ainsi que les relations entre droites et produit scalaire ou encore entre cercles et produit scalaire.

Extraits

[...] On sait que = + = = ( + = + + = + 2 AB AD cos BÂD + = + 2 6 3 cos + = 36 + 36 1/2 + 9 = 63 Donc : AC = AC = cm IV- Vecteurs orthogonaux Définition : Deux vecteurs et non nuls sont orthogonaux si et seulement si leurs directions sont perpendiculaires. On sait que . = cos ( , ) Or, les vecteurs et sont orthogonaux donc ( , ) = π/2 radians. D'où : cos ( , ) = cos π/2 = 0 et . = 0 Remarque : Si = (ou = alors . = . = 0 On dit que le vecteur nul est orthogonal. [...]

[...] Ce nombre est le produit scalaire des vecteurs et . II- Les différentes expressions du produit scalaire de deux vecteurs Définition Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls et est le nombre noté . défini par l'une ou l'autre des expressions suivantes : . = cos ( , ) Remarque : L'angle ( , ) correspond à l'angle formé par les vecteurs et . Exemple : On considère la figure suivante. On souhaite donner une expression du produit scalaire . [...]

[...] Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Situation 1 : Situation 2 : . = AB AC cos = AB AC cos π = AB AC 1 = AB AC = AB AC = AB AC Théorème admis : Si les vecteurs et sont colinéaires de même sens, alors : . = AB AC Si les vecteurs et sont colinéaires de sens contraire, alors : . = AB AC Produit scalaire et projection orthogonale Dans le repère orthonormal ; ; ) ci-dessus, les vecteurs ; et ont pour coordonnées respectives (xB ; (xC ; yC) et (xC ; 0). [...]

[...] ) Exemples : ) . 3 ) = 3 = ) = 2 1 = . = ) . = . . = ) . ) = . Sur le quadrilatère ABCD ci-dessous : . = . ( + ) = . + . Carré scalaire et norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur. On appelle carré scalaire du vecteur le nombre . noté . [...]

[...] = AB AH ou = AB AH Conséquence : Sur la figure ci-dessous, le point H est le projeté orthogonal du point C sur la droite et le point K est le projeté orthogonal du point D. D'après le théorème, on a donc : . = . III- Règles de calcul Théorème Soient , et trois vecteurs non nuls et α un réel. On a les égalités suivantes : . = . . ( + ) = . + . (α ) . = α ( . [...]