La fonction logarithme népérien - publié le 30/07/2013

Thèmes abordés

Fonction logarithme népérien, propriétés algébriques, fonction ln, fonction réciproque, relation fonctionnelle

Résumé du document

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l'unique solution de l'équation ex = a. On note ln a.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction qui, à tout réel x strictement positif, associe le réel In x.

On dit que les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

Extraits

[...] = et ensuite ,,-→+∞.- (−,.). = Par somme des limites ,,-→+∞.-() (()). = Méthode: Déterminer une limite Déterminons la limite en 1 de la fonction = ,()-− . Obtenant une forme indéterminé ,-., prenons y nous autrement. Nous avons ,,-→.-,()-− . = ,,-→.- ,,+,− . -− . = ,,-→.-,(+)- . = 1 comme composée de limites. Fonction logarithme népérien PARTIE 4 FONCTION = 1 Croissances comparées Propriété : Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle de dérivée u'. [...]

[...] ; donc ln(a) = 0,5 ln,,- . On peut démontrer la dernière propriété par récurrence. Méthode: Simplifier des expressions A = ln(3 ,-.) + ln(3 + ,-.) = ln(3 + = ln(9 = ln(4). B = ln(e2) ln,,- . = 2 ln(e) ln(2) + ln(e) = 2 ln(2) + 1 = 3 ln(2). C = ln,,,-.×,-.- . = ln(9) = + ln(23) ln(32) = 0,5 ln(5) + 3 ln(2) 2 ln(3). D = 2 ln(2) + 0,5 ln(3) ln(5) = ln(22) + ln(5) = ln(5) = ln(,,-.-.). [...]

[...] - ln(). = donc, par composée ,,lim-→,−1-+ . -(). = D'autre part ,,lim-→,3-− . -,,3−-1+ . = et ,,lim-→,3-− . - ln(). = donc, par composée ,,lim-→,3-− . -(). = Pour tout réel ln(ex) = x ln(1) = 0 car (e0 = Pour tout réel x > ln(eln(x)) = x ln(e) = 1 car (e1 = = ln(a) + ln(b) ln,,- . = m ln(a) ln,,- . = 0,5 ln(a) ln,,- . = ln(a) ln(b) ln,,- . = In'(x) = ,-. [...]

[...] Par conséquent, la fonction ln est bien croissante sur ; Conséquence : Démonstration : Comme la fonction ln est continue, strictement croissante sur ; et ln(1) = 0 ; on peut en déduire le signe de ln(x) en fonction de x. Conséquence : Méthode: Dérivée une fonction faisant intervenir la fonction ln Dérivons la fonction = ,ln()-. sur l'intervalle ; Considérons d'abord que = ,()-(). avec donc = ln(x) et = x. Nous avons alors u'(x) = ,-. et v'(x) = 1. Et donc on a f '(x) = ,,-′.,.×,. ,.×,-′.()-,,, . [...]

[...] Remarque : Les fonctions puissance imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. Propriété : Démonstration : La fonction ln est dérivable en 1 et ln'(1) = 1. Donc ,,lim-ℎ→0.-,ln,1+ℎ. ln(1)-ℎ . = ln'(1) c'est-à-dire ,,lim-ℎ→0.- ,ln,1+ℎ. ln(1)-ℎ . = 1. Propriété : Si u est dérivable et strictement positive sur I alors les fonctions u et ln(u) ont le même sens de variation sur I. Démonstration : Comme ln'(u) = ,,-′.-. et u > les dérivées u' et ln'(u) sont de même signe. [...]