La continuité - publié le 20/08/2008

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - La continuité

Extraits

[...] Soit f une fonction à valeurs réelles, continue sur . Montrer que si f admet une limite réelle en f est nécessairement bornée sur Montrer que si f est périodique, f est également bornée sur mais n'admettra de limite en que si c'est une fonction constante Soit f une fonction de dans telle que ( x : Montrer que l'équation admet alors toujours une et une seule solution sur 8. Soient f et g deux fonctions à valeurs réelles, continues sur et telles que pour tout x réel : 0 ( g(x). [...]

[...] On pourra donc en restreignant éventuellement se ramener au cas où est lui aussi strictement inférieur à b. Remarquons alors que tout élément x de a son image par g strictement négative donc est élément de E. Mais ceci est en contradiction avec le fait que c majore E. On ne peut en effet trouver d'éléments de E strictement supérieurs à c. ne peut donc non plus être strictement négatif. La seule possibilité est donc ce qui assure l'existence d'une solution pour l'équation étudiée. Image d'un intervalle fermé borné par une fonction continue. [...]

[...] Le schéma de la continuité en y0 est donc vérifié. _ Si y0 est une des bornes de il suffit d'adapter légèrement la démonstration ci dessus en tenant compte que l'on étudie uniquement la limite à droite en si y0 est cette image ou la limite à gauche si y0= f(b). Par exemple dans le premier cas on choisira ( tel que a ( pour donné, puis , inclus dans [ Considérons maintenant un intervalle du type avec a réel. [...]

[...] _ Supposons d'abord strictement positif. On pourra alors trouver un voisinage V de cette image ne contenant que des nombres strictement positifs. Puisque g a pour limite en on pourra trouver un voisinage tel que (V. Or c étant le plus petit majorant possible de qui lui est strictement inférieur ne peut majorer E. Il existe donc au moins un élément x de E tel que ( x ( c. Cet x étant élément de on devrait donc avoir donc strictement positif, ce qui est en contradiction avec l'appartenance de x à E (caractérisée par ne peut donc être strictement positif. [...]

[...] Raisonnons par l'absurde et soit x tel que ( f(a). _ L'élément x ne peut appartenir à sinon, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait au moins un réel c de tel que ( puisque serait comprise entre et f(b).). L'égalité = serait alors contraire à l'injectivité de f. _ De même x ne peut être strictement plus grand que car il existerait un c entre b et x tel que f(a). On a donc bien établi l'implication mentionnée plus haut. [...]