Cours de géométrie analytique

Résumé du document

Ce document est un cours complet de géométrie analytique, assorti de 20 exercices tous corrigés. Il traite en premier de la droite dans l'espace : représentation paramétrique, système d'équations cartésiennes, distance d'un point à une droite, perpendiculaire commune à deux droites coplanaires. On s'intéresse ensuite au plan dans l'espace : représentation paramétrique, équation cartésienne, distance d'un point à un plan. Dans un troisième temps, on présente les sphères, les cylindres et les cônes ; on donne pour chacun leur équation cartésienne et leur représentation paramétrique ainsi que diverses intersections entre objets géométriques. Les coniques sont l'objet de la partie suivante : définition monofocale, définition bifocale des coniques à centre, propriétés des tangentes aux coniques.

Extraits

[...] Pour cela écrivons vue la définition barycentrique des sommets : et On en déduit aussitôt par addition et soustraction respectives : Notons alors c la distance commune des deux foyers au centre : c=OF=OF'. La connaissance de ce nombre permettra grâce aux égalités ci dessus : _ D'obtenir l'excentricité par : (conséquence de _ De préciser la position des directrices associées à chacun des foyers. Ainsi la directrice D associée à F d'abscisse aura pour équation . Reste à expliquer comment obtenir c à partir de l'équation réduite. Dans le cas de l'ellipse on a posé , d'où : = . [...]

[...] Un point M de E est par définition élément du cône de sommet et de directrice C si et seulement si il existe un point P de C et un réel t tel que On en déduit le paramétrage suivant de ce cône en fonction du couple Pour en déduire une équation cartésienne, remarquons d'abord que t est relié simplement aux deux premières coordonnées par : . De on déduit alors : D'où l'équation cartésienne : Réciproquement, si vérifie l'équation ci dessus, on montre facilement qu'il s'agît bien d'un point du cône étudié. Pour cela : _ On commence par considérer la valeur L'équation ci dessus se traduit alors : Si t=0 on en déduit z=1 et par suite x=2-y=1. Le point M est le sommet du cône. Si t non nul on considère alors ( de défini par le système : . [...]

[...] La traduction analytique de cette relation se déroule de manière analogue à l'étude faite précédemment pour l'ellipse. Comme pour l'hyperbole on en déduit Le point M appartient donc à la conique et son abscisse est strictement positive puisque MF'-MF=2a (0. M est donc bien sur la branche C On établit sans problème de manière analogue : M - ( MF-MF'=-2a, C désignant la branche d'hyperbole formée des points de C d'abscisse négatives. Propriétés particulières des tangentes aux coniques Théorème 1. [...]

[...] _ On commence par remarquer que . _ En reportant cette expression dans les deux premières relations et après regroupements on en déduit : . _ De on tire alors la relation : Réciproquement, tout point satisfaisant à la relation précédente appartient bien au cône de directrice C et de sommet S. En effet en prenant et en choisissant ( dans défini par on aura bien M défini par . Le seul problème est pour mais l'équation donne alors dont on tire les valeurs x=1 et y=2. [...]

[...] Il n'existe aucune solution réelle pour a. Effectivement, il n'existe pas de plan tangent à une sphère donnée passant par une droite coupant cette sphère. _ Si d =dA. On obtient une racine double, soit : . Cela nous conduit à un seul plan solution, d'équation cartésienne : -x+4y+5z=0. _ Enfin, si d on obtient deux racines réelles : . On pourra donc mener en pivotant autour de D , deux plans tangents à la sphère La droite D est paramétrée de manière évidente par : Il s'agît donc de la droite passant par O et dirigée par le vecteur normé = Le point appartient donc au cône de révolution d'axe D de sommet O et de demi angle au sommet si et seulement si : Après simplifications on obtient : Les points de ce cône situées à une côte nulle sont les points satisfaisants à l'équation On en déduit L'intersection du cône étudié avec le plan ‘horizontal' est donc la réunion de deux droites de ce plan Le plan P d'équation x+y=1 est le plan affine passant par et dont la direction est l'orthogonal du vecteur normé = . [...]